수학의 영역중 위상수학 (Topology)의 연구 범위 개요

소개

수학의 영역중 위상수학 (Topology)의 연구 범위 개요라는 주제의 리포트입니다.

목차

1. 들어가며
2. 점집합위상수학(Point-set Topology)
3. 대수적위상수학(Algebraic Topology)
4. 미분위상수학(Differential Topology)
5. 기하학적위상수학(Geometric Topology)
6. 저차원다양체론 및 매듭론(Low Dimensional Manifold Theory and KnotTheory)

본문내용

1. 들어가며

위상수학은 20세기초에 뽀앙까레 등에 의해서 생겨난 수학의 한 분야이다. 위상수학이란 어떤 대상을 연속적으로 변형시킬 때 변하지 않는 성질을 공부하는 것이다. 즉, 얼마든지 줄어들거나 늘어날 수 있는 이상적인 고무의 성질을 연구하는 것이다.

흔히 위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없다고 하는데, 이것은 커피잔이 만약 수학적인 고무로 만들어져 있다면 도넛모양으로연속적으로 변형시킬 수 있기 때문이다. 한편, 공과 커피잔은 위상적으로도다르다. 이와 같이 위상수학에서는 공간의 추상적 연결구조를 정의하고 계량화하며 성질을 연구한다.

이 분야는 공간이란 개념을 수학적으로 정의함으로써 수학의 여러분야에 기초적이고 또한 유용한 방법론을 제시하였다. 예를 들어, 대수학에는 리군이라는 연속군의 개념, 해석학에는 바나흐공간 등 여러 공간을 이해하는 방법, 미분기하학에는 다양체 등 기하학을 논할 수 있는 공간을 제시하였다. 즉19세기에 리만이 제창한 애매 모호한 공간이란 개념이 확실해짐에 따라 다양한 분야의 수학이 더불어 발전할 수 있었다.

이 리만 공간은 이후 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 시작점이 되며, 현재 수학자 펜로즈와 천체 물리학자 호킹의 빅뱅이론은 결국 이러한 아인슈타인 공간의 수학적 연구에서 시작한다. 위상수학자체에서는 공간의 분류 등을 이해하기 위해서 대수위상과 호모토피 이론이 급속히 발달하였고, 가장 중요한 문제인 뽀앙까레 가설에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 부수적으로 양-밀즈 방정식, 쌍곡기하구조론, 복소다양체론, 매듭론 등과의 관계가 연구되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.

참고자료

· 없음