[공정제어]탱크의 액위 Pre-리포트

소개

액체가 유량 Qin 으로 유입되어 밸브를 통하여 Qout 으로 유출되는 경우의 동력학적 현상을 조사해 보자. 그 중 널리 쓰이는 계단입력(Step input)에 대한 응답(Response)을 보고 가장 이상적인 충격입력에 대한 응답을 보자. 충격응답(Impulse response)은 모든 입력에 대한 계의 응답을 계산하는 데 필요한 정보를 제공하여 준다. 또한 계에 대한 동력학적 정보를 얻는 데는 충격응답을 조사하는 것보다 더 이상적인 방법은 없다. 그러나 실제에 있어서 완전한 충격입력은 만들 수 없으므로 계에 만족하는 충격입력으로 간주할 수 있는 입력을 선택하여야 할 것이다.
또 2차계로서 다용량 공정의 동력학적 현상 및 전달함수가 어떠한가를, 비상관 용량과 상관용량의 경우 각각에 대하여 알아보자.

목차

1.서론
2.이론
3.실험 방법
4.참고 문헌

본문내용

1-1. 1차계의 동력학적 현상 및 전달함수

1) 계단 입력에 대한 과도응답(Transient Response by Input Change)

계단 입력은 만들기가 가장 쉬운 입력 변화로서, 갑자기 변하고 그 값이 일정하게 유지되는 변화 값을 갖는다. 시간 t=t0 에서 크기가 A로 변한 계단 변화는 다음과 같이 표시할 수 있다.

u(t)=0 t<t0
u(t)=A t≧t0

시간 t0=0에서 크기 A인 계단 변화를 라플라스 변환을 하면,

U(s)= A/s

화학 공정의 제어를 목적으로 할 때, 보통 조작 변수는 유량인 경우가 많은데, 밸브의 특성 혹은 다른 용인의 변화에 의해서 실제 유량은 즉각적으로 변하지는 않는다. 그러나 제어 밸브와 같은 최종 제어 요소에 주어지는 목표 유량 값, 혹은 전기적인 신호가 공정의 입력변수라면 급격한 계단 변화를 물리적으로 만들어 내는 것이 가능하다.
탱크계에서는 밸브를 재빨리 여는 것으로써 계단입력을 줄 수 있다.

1차 공정
1차 공정은 그 모델식이 1차 미분방정식으로 주어지는 공정이다. 공정이 선형인 경우를 생각하여 보면 출력변수를 y, 입력변수를 x라 할 때 모델식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

a+ by = cx(t) (b≠0)

위의 식을 다시 쓰면
+ y = x(t)

위의 a/b는 공정의 시간상수라고 통칭되며 흔히 τ로 표기한다. 그리고 c/d는 공정의 gain(이득)이라 하며 흔히 K로 나타낸다. 이들을 이용하여 위의 식을 다시 쓰면

τdy/dt + y = Kx(t)

초기 조건을 0이라 하고 (즉 y(0)=0) 위의 식을 라플라스 변환시키면

τsY(s) + Y(s) = KX(s)

따라서

Y(s)/X(s) = G(s) = K/(τs + 1) (1)

1차 공정의 전달함수는 식 (1)에서와 같이 그 분모가 언제나 s의 1차식이다.

Qin(t) = 0 , t≦0
Qin(t) = ∆Q , t≻0

1차계에서의 계단 응답은 다음과 같이 얻을 수 있다.
위 식을 라플라스 변환하면

Qin(s)= ∆Q/s

위 식을 (1)에 대입하면

H(s)= (∆Q⋅R)/(s(τs+1))
h(t) = R⋅∆Q(1-e-1/τ)

여기서 t/τ=1 일 때 h(t)/R∆Q=0.632 가 된다.
이때 t값을 즉 τ를 시간 상수(time constant)라 한다. 어떤 계를 1차계로 수식화하여 전달 함수를
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(τs + 1) 이라 가정할 때
계단 입력 함수 X(t)= A에 대한 응답이 t = τ에서 y(t)값이 0.632 값을 갖으면 이 모형은 타당한 것이다.

참고자료

· George Stephanopoulos원저, 유의연 외 공역, “화학공정제어”, 1st ed., p157, 선중당(1986)
· James B.Riggs원저, 강성주 외 공역, “화학공정제어”,p143, 아진(2000)
· 강신춘 외 공저, “Matlab을 이용한 공정제어공학”, 2nd ed., p150, 아진(2003)