[수학]수학의 공리주의 형식주의 직관주의

소개

수학의 공리주의 형식주의 직관주의에 관해서 조사한 리포입니다.

목차

공리주의
형식주의
직관주의

본문내용

1. 공리주의

모든 수학의 이론은 몇 개의 공리에서 출발하여 엄밀한 추론에 의해 이루어져 있어야 한다고 하는 주장이다.

이 사상은 D.힐베르트에 의해 강하게 주장되어 실행되었는데, 그는 기하학이 몇 개의 공리 위에서 성립한다고 하여, 이것을 《기하학기초론：Grundlagen der Geometrie》(1899)으로 발표하였다. 이론의 기초인 가정(假定)을 공리라고 한다.

수학에 있어 공리(axiom)는 논리를 전개하는 바탕이 된다. 유클리드는 "수학이란 진리만을 다루는 가장 논리적인 학문이다"라고 봤다. 하지만 수학이 발전함에 따라 공리를 진리로 보는 것이 오류임이 밝혀졌다. 힐베르트는 공리는 진리가 아니라 약속에 지나지 않았다고 보았다. 수학을 엄밀히 전개하는데 처음 필요한 것이 공리이고 그것에 따라 논리를 전개해나가는 것이다. 공리주의(axiomatism)란 모든 이론은 기본이 되는 몇몇 공리에서 출발해 논리적으로 조합됐다고 보는 이론이다.

공리주의는 20세기 초 힐베르트를 중심으로 전개됐던 수학기초이론. 유클리드기하학에 대비해 비유클리드기하학의 공리적 기초를 확립한 힐베르트는 수학과 물리학을 비롯해 과학의 전 분야에 공리적 기초를 마련하려고 애썼다. 그의 저서로 1930년 출판된 `자연과 논리학의 이해`와 1935년과 1939년에서 걸쳐 `수학의 기초` 두 권을 출판했다. 이 원론집은 수학의 양립성consistency) 즉 무모순성을 체크할 수 있는 증명이론(proof theory)을 이끌어내기 위해 썼다고 한다.

이런 그의 시도는 수학을 완벽한 기초 위에 올려놓은 듯 했다. 하지만 1931년 괴델의 논문은 이런 힐베르트의 의도가 불가능하다는 것을 증명한 바 있다. 괴델의 불완전성의 정리에 따르면 모든 수학적 논리체계에는 논리자체로 증명할 수 없는 참인 명제들이 존재한다. 괴델은 처음에 힐베르트의 공리주의를 뒷받침하기 위해 연구를 시작했는데 엉뚱하게도 공리주의에 제동을 거는 결과를 낳고 만 것이다

참고자료

· 없음