[토목공학] 카스틸리아노(castigliano)의 정리

소개

제가 대학교 4학년때 '응용 구조역학'이란 수업을 들으며 정리해두었던 파일입니다. 여러 후배님들과 구조역학의 개념을 이해하길 바라시는 모든 분들과 함게 공유하려 합니다. 변형에너지를 구하는 가장 유명하고 중요한 개념인 카스틸리아노의 제 1정리와 제 2정리에 대해 예제와 그림들로 정리하였습니다.

목차

1. 변형에너지
1.1 축하중을 받는 부재의 변형 에너지
1.2 비틀림과 순수전단을 받는 부재의 변형에너지
1.3 휨이 작용하는 부재에서의 변형에너지

2. 카스틸리아노의 정리(Catigliano's theorem)
2.1 카스틸리아노 정리의 유도
2.2 카스틸리아노 정리의 응용
2.3 가상 하중법(fictitious load method, dummy load method)
2.4 적분기호를 포함한 미분

본문내용

1. 변형에너지
다음과 같은 경우에 있어서의 변형에너지를 구한다.
(i) 축하중이 작용하는 부재
(ii) 비틀림과 순수전단이 작용하는 부재
(iii) 휨이 작용하는 부재

1.1 축하중을 받는 부재의 변형에너지
그림과 같은 부재에 하중을 천천히 가하기 시작하여 하중이 P에 도달할 때에 변형이가 되었다. 이때의 하중은 천천히 가한 정하중(static load)으로 동적영향이 없도록 한다
1. 변형에너지
다음과 같은 경우에 있어서의 변형에너지를 구한다.
(i) 축하중이 작용하는 부재
(ii) 비틀림과 순수전단이 작용하는 부재
(iii) 휨이 작용하는 부재

1.1 축하중을 받는 부재의 변형에너지
그림과 같은 부재에 하중을 천천히 가하기 시작하여 하중이 P에 도달할 때에 변형이가 되었다. 이때의 하중은 천천히 가한 정하중(static load)으로 동적영향이 없도록 한다
여기에서 다음 식이 성립한다.

여기에서 하중-변위선도(load-displacement diagram)가 아래 그림과 같이 주어진다고 하자. 그림에서 하중의 증가량 에 의해서 변위는만큼 증가함을 알 수 있다. 따라서 전체 하중이 한 일의 총량은 다음과 같이 표시된다.
그림2.
이 식은 하중-변위 곡선의 아랫부분의 면적을 나타낸다. 이처럼 하중을 가하는 동안에 부재에 흡수된 에너지를 변형에너지(strain energy)라 부른다. 변형에너지는 다른 형태의 에너지로 없어지지 않았다면 하중이 한 일의 양과 같다.

다음과 같은 하중-변위곡선을 가지는 부재에서 하중을 B점에서 제거하여 BD경로를 따라 변형이 일어났다면 하중이 0에 도달해도 제거되지 않는 변형 OD가 남는다. 이 과정에서 회복된 변형에너지를 탄성변형에너지(elastic strain energy)라고 하고 영구변형을 일으키는 과정에서 소모된 에너지를 비탄성변형에너지(inelastic strain energy)라 한다.

참고자료

· 없음