kreyszig 크레이직 공업수학(공학수학) 개념정리 [A+ 자료, 개념설명]

소개

kreyszig 공업수학(상) 교재를 공부하며 스스로 개념정리 한 자료입니다. 공업수학은 무엇보다 개념이 탄탄해야 문제를 빠르게 풀 수 있기 때문에, 개념정리 및 이해가 중요합니다. 자료를 읽어보시면, 공업수학(상)권의 전체적인 흐름, 전체적인 개념을 이해하시는 데에 큰 도움이 될 것임을 보장드립니다. 또한, 문제 풀이 꿀팁도 넣어두어서 연습문제 푸실 때에도 유용하리라 생각됩니다. 해당 자료를 만들며 중간고사와 기말고사 모두 1등을 하여 무난히 A+를 받았으니 믿고 구경해보세요 :)

목차

제 1장 : 1계 상미분방정식
1.1 기본개념, 모델링
1.2 y'=f(x,y) 의 기하학적 의미, 방향장, 오일러 방법
1.3 분리가능 상미분방정식, 모델링
1.4 완전상미분방정식, 적분인자
1.5 선형상미분방정식, 베르누이 Eq, 개체군 역학
1.6 직교절선

제2장 : 2계 선형상미분방정식
2.1 2계 제차 선형상미분방정식
2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식
2.3 미분연산자
2.4 질량-용수철 시스템의 자유진동 모델링
2.6 해의 존재와 유일성 – 론스키안
2.7 2계 비제차 선형상미분방정식
2.8 모델링 : 강제진동, 공진
2.10 매개변수변환에 의한 풀이

1단원 총정리

2단원 총정리

제3장 : 고계 선형상미분방정식
3.1 제차 선형상미분방정식
3.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식
3.3 비제차 선형상미분방정식

제4장 : 연립상미분방정식, 위상평면, 정성법
4.0 행렬과 벡터의 기본
4.1 공학적 응용에서 모델로서의 연립상미분방정식
4.3 상수계수 연립방정식. 위상평면법
4.4 임계점에 대한 판별법, 안정성
4.6 비제차 선형연립방정식

제6장 : Laplace 변환
6.1 Laplace 변환, 선형성, 제1이동정리(s-이동)
6.2 도함수와 적분의 변환, 상미분방정식
6.3 단위계단함수 (헤비사이드함수), 제2이동정리 (t-이동)
6.4 짧은 충격, 디랙의 델타함수, 부분분수
6.5 합성곱(convolution), 적분방정식
6.7 연립상미분방정식

본문내용

제1장 : 1계 상미분방정식

1.1 기본개념, 모델링
＊용어정리
- 모델 : 문제를 나타내는 수학적 식
- 모델링 : 모델을 세우고, 풀고, 결과를 해석
- 미분방정식 : 미지함수의 도함수를 포함하는 방정식

＊상미분방정식 vs 편미분방정식
- 상미분방정식 : 1개의 변수를 가진 미지함수의 일계 또는 고계의 도함수를 포함하는 방정식
- 편미분방정식 : 2개 이상의 변수를 가진 미지함수의 편도함수를 포함하는 방정식

＊1계상미분방정식의 표현
- 변수가 1개이고, 1계이므로 를 포함함.
- 양형태 :
- 음형태 :

＊해의 개념
- 미분방정식을 푼다는 것, 해를 구한다는 것은 y에 관한 식으로 정리하여 나타내는 것을 말함

＊초깃값 문제
- 미분방정식을 풀면 보통 상수 c를 포함하는 일반해가 도출됨
- 초기조건 ()을 이용해 상수 c를 결정함으로써 특수해가 도출됨

1.2 의 기하학적 의미, 방향장, 오일러 방법
＊방향장
- 은 기울기를 의미하므로, 평면 각 점에서의 기울기 (짧은 직선 선분 요소)를 그려 넣으면 방향장을 얻을 수 있음
- 해곡선을 이 방향장에 맞춰 넣을 수 있음

＊오일러의 수치해법 (근사해)
- ODE : 와 초기값 가 주어졌다고 하자. 만약 계단폭이 라면,

1.3 분리가능 상미분방정식, 모델링
＊형태
또는
→ 한쪽은 y에 관한 식, 한쪽은 x에 관한 식으로
→ 분리가능 방정식이라고 부름

＊풀이
→ 변수 분리법이라고 부름

＊모델링 (알아두면 유용한 모델)
1) 방사능 감쇠 모델

2) 혼합문제
를 시간 에서의 양이라고 하면,

3) 뉴턴의 냉각법칙
＊분리가능한 형태로 변환
- 분리가능하지 않아도 꼴이면 로 치환함으로써 분리가능하게 만들 수 있음
(물론, 처럼 다양한 치환 방법이 있으며, 적분인자처럼 구하는 방법이 존재하는 것이 아니므로 치환 대상은 문제에서 주어질 것임)

참고자료

· Kreyszig 공업수학(상) 개정 10판 / 서진현, 심형보 역 / 텍스트북스 / 2020.01.15