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세포 분열에서 나타나는 수의 증가와 이차함수형 모델의 적용2025.05.271. 서론 1.1. 세포 분열과 이차함수 모델의 연관성 세포 분열은 생명체의 성장과 개체 수 증가에 있어 매우 중요한 과정이다. 세포 수가 지수적으로 증가하는 세포 분열 과정은 이차함수 모델로 잘 설명될 수 있다. 세포 분열 과정에서 세포 수 변화는 '지체기-대수기-정지기-사멸기'의 전형적인 S자 곡선 형태를 나타낸다. 이러한 S자 곡선은 로지스틱 방정식으로 잘 모델링될 수 있는데, 로지스틱 방정식은 미분 방정식의 일종으로 이차함수 형태를 가진다. 로지스틱 방정식에서 K는 환경 수용력을 나타내는데, 이는 세포 수가 일정 수...2025.05.27
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미적분 세특2025.06.101. 미적분의 중요성 1.1. 수학적 기본 개념 수학의 근간이 되는 기본적인 개념들이 있다. 미적분학은 미분과 적분을 다루는 수학의 한 분야이다. 미분은 순간 변화율을 나타내며, 적분은 누적된 변화량을 나타낸다. 이러한 미분과 적분은 서로 반대되는 개념이지만 기본정리를 통해 연결되어 있다. 기본 함수로는 대수함수, 초월함수 등이 있으며, 이를 연산하여 다양한 공식과 성질을 도출할 수 있다. 삼각함수와 지수함수, 로그함수는 대표적인 초월함수이다. 수열과 급수 또한 기본이 되는 수학적 개념인데, 이를 통해 무한의 개념을 다룰 수 있다...2025.06.10
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미적분 세포2024.09.081. 미적분의 활용 1.1. 생명현상 분석 및 탐구 1.1.1. 로지스틱 방정식을 활용한 개체군 생장 분석 로지스틱 방정식을 활용한 개체군 생장 분석은 생명현상 분석 및 탐구의 대표적인 사례이다. 생명과학1 시간에 배운 개체군의 생장곡선은 크게 두 가지로 나뉘는데, 이론적 생장곡선은 계속해서 증가하는 J자형인 반면 실제 생장 곡선은 시간이 지남에 따라 환경수용력에 수렴하는 S자형 그래프가 나타난다. 이러한 실제 생장 곡선의 모양을 설명할 수 있는 것이 로지스틱 방정식이다. 로지스틱 방정식은 미분을 이용한 방정식으로, 그래프를...2024.09.08
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미적분 세특2025.06.031. 퓨리에 변환 1.1. 퓨리에 급수와 푸리에 변환 퓨리에(Fourier)가 제시한 퓨리에 급수는 모든 주기함수를 삼각함수의 무한급수 형태로 나타낼 수 있다는 개념이다. 주기함수 F(x)가 구간 (-L, L)에서 반복된다고 할 때, F(x)는 다음과 같은 무한급수의 합으로 표현된다. 여기서 L이 주기이기 때문에 이다. 퓨리에 변환은 퓨리에 급수에서 한 걸음 더 나아가, 주기함수가 아닌 일반적인 함수도 삼각함수의 꼴로 변환할 수 있다는 아이디어에서 시작되었다. 이는 일반 함수의 주기를 무한대로 간주하여 전체를 한 주기로 보는 ...2025.06.03
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시그모이드 곡선2025.03.101. 서론 1.1. 시그모이드 함수의 정의 및 특성 시그모이드 함수는 S와 유사한 형태를 가진 함수로, 주로 학습 곡선 등을 나타내는 함수이다. 이 함수는 0에 가까운 작은 값에서 시작하여 일정한 유한 값에 접근하는 특성을 가진다. 즉, 입력값에 따라 출력값이 처음에는 느리게 증가하다가 후에 급격히 증가하거나 감소하는 특징이 있다. 시그모이드 함수의 도함수는 f'(x)=f(x)(1-f(x))의 형태를 가지며, 부정적분은 ∫(1/(1+e^(-x)))dx=ln(e^x+1)+C로 나타낼 수 있다. 또한 시그모이드 함수의 점근선은 lim...2025.03.10
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생명과학에 적용되는 미적분2024.10.161. 시그모이드 함수(로지스틱 방정식)를 활용한 생명현상 분석 1.1. 로지스틱 방정식 활용1: 개체군의 생장곡선 개체군이란 특정 시기에 주어진 지역에서 서로 상호작용하는 한 종의 개체들로 구성되고 밀도, 성비, 연령구조, 출생률, 이입률, 사망률, 이출률 등 다양한 고유 특성을 갖는 단체를 의미한다. 이러한 개체군의 개체수의 증가 곡선을 나타낸 것이 개체군의 생장곡선이다. 자연 상태에서 개체군의 크기는 출산과 사망, 종 내 상호작용 등에 의해 변화한다. 출산율이 사망률보다 크면 개체군의 크기가 증가하고, 반대인 경우 개체군의 ...2024.10.16
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로지스틱함수2025.05.041. 서론 1.1. 주제 선정의 배경 대학생활을 하면서 수학과 생물학 과목에서 배운 개념들 간의 연관성에 대해 관심이 생겼다. 특히 미적분 시간에 배운 그래프 그리기와 생명과학 수업에서 배운 생장곡선의 유사점을 발견하게 되었다. 이에 따라 수학적 모델인 로지스틱 함수가 실제 생명현상에 어떻게 적용되는지 궁금해졌다. 또한 코로나19 발병 초기에 다양한 전문가들이 제시한 예측 결과를 접하면서, 전염병 확산을 수학적으로 표현하는 방식에 대해 알고 싶게 되었다. 이러한 호기심을 바탕으로 '로지스틱 함수'를 주제로 심도 있게 탐구하고자...2025.05.04
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로지스틱함수2025.05.041. 서론 1.1. 탐구 동기 및 목적 책 '미적분으로 바라 본 하루'를 읽으며 생물의 개체수가 어떻게 변하는지 궁금하였고, 변화에는 어떤 특징이 있을지, 혹은 이것을 공식화해서 나타낼 수 있는지 궁금하였다. 더 알아보니 학교 수업에서 배운 지수함수와 로그와도 관련이 있어 더 깊게 알아보고자 한다. 개체수의 변화는 어떤 경향을 나타내는지, 로지스틱 방정식이란 무엇인지 이번 기회를 통해 알아보고자 한다. 개체군 일정한 지역에 모여 살면서 서로 자유로운 교배가 일어나는 생물 집단이며, 환경 저항은 생물이 환경 내에서 증식할 때, ...2025.05.04
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미분 약물2024.10.231. 주사약 농도 변화 분석 1.1. 주사약이란 약을 투여하는 방법으로는 내복약과 주사약이 있다. 내복약으로 투여되는 약물은 소화관에서 흡수되어 혈액을 통해 전신을 순환함으로써 체내에 분포할 수 있게 되고, 주사약은 혈액으로 투여되어 소화관에서 흡수되는 과정을 거치지 않는 투여 방법이다. 주사약은 약물이 혈액으로 직접 투여되어 신속하고 정확한 약물 효과를 나타낼 수 있다는 장점이 있지만, 혈중농도 조절이 중요하다는 단점이 있다. 적절한 농도의 주사약을 투여하는 것은 환자의 생명에 직결될 수 있기 때문에 매우 중요하다. 1.2. 주...2024.10.23
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약물농도와 지수함수의 관계2025.07.171. 서론 1.1. 약물농도와 지수함수의 관계 약물의 농도와 인체 내 반응 사이의 관계는 일반적으로 지수함수의 형태를 나타낸다. 이는 약물의 투여량이 증가함에 따라 생물학적 활성도 급격히 증가하는 특성을 나타낸다. 지수함수는 작은 입력값의 변화에도 매우 큰 출력값의 변화를 보이는데, 이는 약물 농도의 변화에 따른 인체 반응의 민감한 변화를 잘 설명할 수 있다. 예를 들어 일반적인 약물의 경우 약물 농도가 2배 증가하면 생물학적 효과가 4배 증가하는 식의 관계를 보인다. 이처럼 지수함수는 약물 농도와 생물학적 반응 사이의 비선형...2025.07.17
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