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1. 지수함수로 보는 타이레놀의 혈중 농도 차이
1.1. 주제 선정 동기
수학1 자유과제3에서 지수함수의 활용문제를 만들었을 때 나의 진로분야인 약학과 관련된 수학 공식을 찾아보다가 지수함수를 이용한 약물의 혈중 농도 공식을 알게 되었고, 이를 사용해서 타이레놀의 흡수에 관한 문제를 만들고 변형했었다. 당시 내용을 조사할 때보다 좀 더 자세하게 비교하고 싶어서 주제를 선정하게 되었다."
1.2. 연구 내용
1.2.1. 약물의 혈중농도 그래프
약물의 혈중농도 그래프는 시간에 따른 약물의 성분 농도를 나타낸다. 약물을 섭취한 후 혈액 속에서 약물의 농도가 최고조에 달하는 농도를 Cmax라 하고, 이 최고 농도에 도달하는 시간을 Tmax라고 한다. 그래프의 아래쪽 면적을 AUC(Area Under the Curve)라 하는데, AUC가 크다는 것은 몸속에서 약이 많이 이용되었다는 의미이다. 약효를 발휘하려면 혈액 속에서 일정 농도 이상, 즉 AUC가 일정 면적 이상 유지되어야 한다. 약물을 섭취한 후에는 Cmax 이후 농도가 점차 낮아지는데, 처음 농도에 비해 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 약물의 반감기라고 한다. 약물의 반감기는 고유한 성질로 항상 일정하다.
1.2.2. 약물의 혈중 농도 공식의 예시
혈중 농도의 공식은 지수가 사용되었다. 예를 들어 혈중 농도의 반감기가 6시간인 약을 먹었을 때 초기 혈중 농도가 200(㎍/mL)일 경우, 12시간 후의 혈중농도를 구해보자. 반감기가 6시간이므로 반감기일 때의 상태를 식에 적용해보면 t는 6, 혈중 농도는 최고 농도의 절반이므로 C=100 이다. 이 식을 다시 대입하면 100=200 TIMES e^{-6k} 이다. 따라서 12시간 후의 혈중 농도는 C=200 TIMES ( {1} over {2} )^{2} =50(㎍/mL)이다. 이 약의 경우, 약을 먹고 12시간이 지나면 혈중 농도가 최초 농도의 1/4 이 되는 것이다.
1.2.3. 약물의 혈중농도 공식 - 타이레놀 적용
일반인들이 대중적으로 많이 먹는 약인 타이레놀은 실제로 종류가 굉장히 많은 약 중 하나이다. 타이레놀, 타이레놀 이알, 타이레놀 우먼스, 타이레놀 콜드, 타이레놀 어린이용 등이 있는데, 이 중 사람들이 특징을 잘 모르는 약인 타이레놀 이알에 대해 살펴보면 다음과 같다.
타이레놀과 타이레놀 이알 서방정은 성분이 모두 아세트 아미노펜으로 동일하지만, 타이레놀 이알(ER=Extended Release)은 기본형보다 약물을 서서히 방출시켜 효과를 오래 지속시키는 약이다. 실제로 일반 타이레놀은 진통, 해열 효과가 4시간 정도 지속되는데 반해 이알은 8시간 정도로 더 오래 지속된다.
이유는 타이레놀 이알정은 이중형태의 제형으로 되어 있어 (한 층은 일반형, 한 층은 서방형) 신속한 효과를 내면서도 약효가 지속적으로 오래 유지할 수 있기 때문이다. 실제로 타이레놀 기본형은 반감기가 4시간정도, 이알정은 8시간 정도라고 한다.
왼쪽의 그래프를 보면 Sustained release (타이레놀 이알)는 더 오랫동안 지속되는 것을 볼 수 있다. 실제로는 두 약의 Cmax 값도 다르게 나타나고 ER의 경우 반감기 이외에도 영향을 미치는 요인(이중형태의 구조같은)이 있기 때문에 혈중 농도를 계산할 때에는 이를 고려하지 않고 두 약이 반감기 외에 다른 요소들을 같다고 가정하고 계산할 것이다.
1.2.4. 타이레놀 약물 혈중 농도 그래프 비교
초록색 - 타이레놀 일반형, 빨간색 - 타이레놀 이알형의 혈중 농도 그래프를 비교해보면 다음과 같다. x축은 시간, y축은 약물의 농도를 나타낸다.
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