본문내용
1. RLC 회로와 공진
1.1. RLC 직렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화
RLC 직렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화는 다음과 같다.
RLC 직렬회로는 저항(R), 인덕터(L), 커패시터(C)가 직렬로 연결된 회로이다. RLC 직렬회로에서는 특정 주파수에서 용량성 리액턴스(XC)와 유도성 리액턴스(XL)가 상쇄되어 저항(R)만이 남게 되는데, 이를 공진 현상이라 한다.
공진 주파수(fr)는 다음 식으로 계산할 수 있다.
fr = 1 / (2π√(LC))
공진 주파수에서 XC와 XL은 서로 상쇄되어 임피던스(Z)는 저항값 R과 같아지게 된다. 따라서 공진 주파수에서의 임피던스는 최소가 된다. 이러한 특성으로 인해 RLC 직렬회로는 특정 주파수 대역의 신호를 선택적으로 통과시키거나 차단시키는 역할을 할 수 있다.
주파수가 공진 주파수보다 낮아지면 XC가 XL보다 크기 때문에 회로는 용량성 특성을 가지게 된다. 반대로 주파수가 공진 주파수보다 높아지면 XL이 XC보다 크기 때문에 회로는 유도성 특성을 가지게 된다.
따라서 RLC 직렬회로의 임피던스(Z)는 주파수에 따라 변화하며, 공진 주파수에서 최소값을 갖는다. 이러한 임피던스 변화 특성은 회로의 주파수 선택 특성을 결정하는데 중요한 역할을 한다.
1.2. RLC 병렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화
RLC 병렬회로에서는 저항 R, 인덕터 L, 커패시터 C가 병렬로 연결되어 있다. RLC 병렬회로에서도 공진 현상이 나타나는데, 이는 인덕터와 커패시터의 리액턴스 값이 동일해지는 지점에서 발생한다.
공진주파수 fr에서 인덕터의 유도성 리액턴스 XL과 커패시터의 용량성 리액턴스 XC가 상쇄되어 병렬회로의 임피던스가 최소가 된다. 이때 병렬회로에 흐르는 전체 전류 iT는 최대가 된다.
공진주파수 fr은 fr = 1 / (2π√LC)로 계산할 수 있다. 이 주파수에서 인덕터와 커패시터의 리액턴스가 동일해지므로 iL = iC가 되고, 전체 전류 iT는 이들의 벡터합이 된다. 즉, iT = √(iR^2 + iC^2)로 표현할 수 있다.
공진주파수 fr에서는 병렬회로의 임피던스가 최소가 되므로, 전체 전류 iT가 최대가 된다. 이때 전압 V와 전류 iT의 위상차는 최소가 되어 cos(θ)가 1에 가까워진다. 따라서 이 지점에서 병렬회로의 유효전력이 최대가 된다.
공진주파수에서 병렬 RLC회로의 임피던스 Z는 R값으로 결정되며, Z = R이 된다. 이는 인덕터와 커패시터의 리액턴스가 상쇄되어 오직 저항 R만 남기 때문이다.
공진주파수 이외의 주파수에서는 인덕터와 커패시터의 리액턴스 차이로 인해 전류 분배가 달라지며, 병렬회로의 임피던스도 달라진다. 저주파수에서는 커패시터가 개방회로가 되어 인덕터 L의 리액턴스 XL이 지배적이 되고, 고주파수에서는 인덕터가 단락회로가 되어 커패시터 C의 리액턴스 XC가 지배적이 된다.
따라서 RLC 병렬회로에서는 공진주파수 fr에서 임피던스가 최소가 되고 전류가 최대가 되며, 유효전력이 최대가 되는 특성을 보인다. 이러한 RLC 병렬회로의 공진 특성은 여러 분야에서 유용하게 활용될 수 있다.
2. RC 및 RL 회로 특성
2.1. RC 직렬회로의 특성
RC 직렬회로의 특성은 다음과 같다.
캐패시터에 관련된 전류 i와 전압 v의 관계식은 i = C(dv/dt)이다. 여기에서 전류 i가 i_m cos(ωt)인 정현파 전류가 들어올 때, 이 식을 t에 대해 적분하면 v = (i_m sin(ωt))/(ωC)로 나타낼 수 있다. 즉, 캐패시터의 전압 v는 전류 i에 대해 90도 만큼 더 지연되어 있다.
[그림 17-1]과 같이 RC 직렬회로 구조라면, 저항 R과 캐패시터 C에 흐르는 전류의 크기는 동시에 같아야 한다. 따라서 두 소자의 전류 위상은 cos(ωt)로 동일하다. 그런데 저항 R은 옴의 법칙 v = iR에 따라 전압 v가 전류 i와 위상이 동일한 cos(ωt)가 된다. 그러면 캐패시터 C의 전압 v는 저항 R의 전압 v에 대해 90도 만큼 더 지연될 수밖에 없다.
위의 내용을 페이저도로 나타내면 캐패시터의 전압 V_C가 저항의 전압 V_R보다 90도 만큼 뒤쳐짐을 알 수 있다. 각 전압은 벡터로 표현할 수 있으며, 피타고라스 정리에 의해 전체 전압 V_1은 sqrt(V_R^2 + V_C^2)로 표현된다.
이 식에 V_R = iR, V_C = iX_C(리액턴스 X_C = 1/(2πfC))를 대입하면 V_1 = i*sqrt(R^2 + X_C^2)로 표현된다. 따라서 전류 i = V_1/sqrt(R^2 + X_C^2)로 나타낼 수 있다.
이 식을 옴의 법칙 형태로 나타내기 위해 임피던스 Z = sqrt(R^2 + X_C^2)로 정의한다. 마지막으로 tan(θ) = V_R/V_C이므로 θ = tan^-1(V_R/V_C)가 된다.
2.2. RL 직렬회로의 특성
RL 직렬회로의 특성은 다음과 같다.
인덕터에 관련된 i와 v의 관계식은 v = L di/dt이다. 여기서 i = im cosωt인 정현파 전류가 들어올 때, v = -Lωim sinωt = Lωim cos(ωt+90)이 된다. 즉, 인덕터의 v는 i에 대해 90도 만큼 더 앞서고 있다.
[그림 17-4]와 같이 RL 직렬회로 구조라면, 소자 R과 L에 흐르는 전류의 크기는 동시에 같아야 하므로 둘의 i의 위상은 cosωt로 동일하다. 그런데 소자 R은 옴의 법칙 v=iR에 의해 v는 i와 위상이 동일한 cosωt이므로, 소자 L의 v는 R의 v에 대해 90도 만큼 더 앞설 수밖에 없다.
위의 그림과 같이 L의 V가 R의 V보다 90도 만큼 앞섬을 페이저도로 나타낼 수 있다. 각 v들은 벡터로 표현할 수 있어 피타고라스 정리에 의해 V1= sqrt(VR1^2 + VL1^2)로 표현된다.
여기서 V1은 RL 직렬회로의 전체전압이다. 이 식에 VR1 =iR, VL1 = iXL(리액턴스XL = 2πfL)을 대입하면, V1 = sqrt(i^2R^2 + i^2XL^2) = i sqrt(R^2 + XL^2)로 표현되므로, i = V...
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