소개글
"공정한 주사위3개를 던지는 시행"에 대한 내용입니다.
목차
1. 확률의 기본 개념
1.1. 확률의 역사적 배경
1.1.1. 파스칼과 페르마의 상금 분배 문제
1.1.2. 수학적 확률론의 창시
1.2. 확률의 종류
1.2.1. 수학적 확률
1.2.2. 통계적 확률
1.2.3. 기하학적 확률
1.3. 확률의 정의와 성질
1.3.1. 확률의 고전적 해석
1.3.2. 확률의 상대도수에 의한 해석
1.3.3. 확률의 정의 및 성질
2. 이산확률분포
2.1. 이산확률분포의 개념
2.2. 이산확률분포의 수학적 표현
2.3. 주요 이산확률분포의 유형
2.3.1. 이항분포
2.3.2. 포아송 분포
2.3.3. 기하분포
2.4. 이산확률분포의 활용
2.4.1. 품질 관리
2.4.2. 금융 및 경제 분야
2.4.3. 의료 및 공공 정책 분야
2.5. 이산확률분포의 오류와 해결 방안
2.5.1. 현실 데이터와의 불일치 문제
2.5.2. 샘플 데이터의 부족
2.5.3. 부적절한 분포 선택
2.5.4. 데이터 정제와 충분한 샘플 확보
2.5.5. 적절한 분포 선택
2.5.6. 모델 검증과 교차검증 활용
2.6. 이산확률분포와 다른 개념과의 관계
2.6.1. 연속확률분포와의 차이 및 연계성
2.6.2. 추론통계와의 연계
3. 참고 문헌
본문내용
1. 확률의 기본 개념
1.1. 확률의 역사적 배경
1.1.1. 파스칼과 페르마의 상금 분배 문제
파스칼과 페르마의 상금 분배 문제는 확률의 역사적 배경에 있어서 중요한 사례이다. 17세기 유명한 수학자인 파스칼(Pascal, 1623-1662)과 페르마(Fermat, 1601-1665)가 편지를 교환하면서 상금의 분배 문제를 해결하였는데, 이는 당시 어떤 도박사가 파스칼에게 제기한 것이었다. A와 B 두 사람이 먼저 5번을 이기는 사람이 상금을 갖기로 하고 이길 가능성이 같은 게임을 하고 있었는데, 도중에 그만 게임을 중단해야 했다. 이때 A는 4게임, B가 3게임을 이겼었는데 상금을 어떻게 나눠야 할지 문제가 제기되었다. 단순히 A가 4번 이기고 B가 3번 이겼으니 4:3으로 나누면 된다고 생각하기 쉽지만, 정답은 A와 B가 상금을 3:1로 나누어야 한다는 것이었다. 이를 풀이하면, 일단 4:3인 상황에서 A는 다음 게임을 이기면 상금을 모두 차지하게 된다. 이길 확률은 반반이니 절반을 차지한다. 만약 다음 게임을 B가 승리한다면 막판 결승전을 한 번 더 해야 하며, 여기서도 이길 확률은 반반이므로 역시 반반 갈라야 한다. 이렇게 되면 전체의 4분의 3이 A의 것이 되어야 하는 것이다. 이와 같이 파스칼은 페르마와 편지를 교환하면서 정확히 풀어내었고, 이를 통해 확률에 대한 수학 이론의 바탕을 다졌다. 여기서 문제의 핵심은 모든 가능한 경우의 수를 따져야 한다는 것이었다.
1.1.2. 수학적 확률론의 창시
수학적 확률론의 창시는 17세기 유명한 수학자 파스칼과 페르마의 상금 분배 문제 해결로부터 시작되었다.
당시 어떤 도박사가 파스칼에게 상금 분배 문제를 제기했다. A와 B 두 사람이 먼저 5번을 이기는 사람이 상금을 가지기로 한 게임을 하다가 중단해야 했는데, A가 4번, B가 3번 이겼을 때의 상금 분배 문제였다. 단순히 게임 횟수에 따라 4:3으로 나누면 될 것 같지만, 실제로는 A와 B가 상금을 3:1로 나누어야 한다.
파스칼은 페르마와 편지를 교환하며 이 문제를 해결하였다. 그들은 모든 가능한 경우의 수를 따져야 한다는 것을 깨달았고, 이를 통해 확률에 대한 수학적 이론의 바탕을 다지게 되었다. 이 과정에서 파스칼은 수의 순열, 조합, 확률과 이항식에 대한 수삼각형의 응용을 설명하는 등 확률론 발전에 큰 기여를 하였다.
이처럼 파스칼과 페르마가 상금 분배 문제를 해결하면서 수학적 확률론의 기초가 마련되었다. 이는 확률 개념에 대한 수학적 체계화의 시작점이 되었다고 볼 수 있다.
1.2. 확률의 종류
1.2.1. 수학적 확률
수학적 확률은 일어날 수 있는 모든 경우의 수와 사건이 일어날 경우의 수를 바탕으로 확률을 계산하는 방법이다. 이는 균형 있는 동전 던지기나 주사위 던지기와 같은 "우연의 게임"에서 파생된 개념으로, 각각의 사건이 일어날 가능성이 동일하다는 가정에서 출발한다.
예를 들어, 균형 있는 동전을 던질 때 앞면과 뒷면이 각각 1/2의 확률로 나타날 것이라고 예상할 수 있다. 이처럼 수학적 확률은 전체 경우의 수와 관심 사건의 경우의 수를 고려하여 확률을 구하는 방식이다. 즉, 수학적 확률은 "일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n이고, 어떤 사건 A가 일어날 경우의 수를 a라고 할 때, 사건 A가 일어날 가능성 a/n"으로 정의된다.
이러한 수학적 확률의 정의는 사건이 일어날 가능성을 객관적이고 일반적으로 받아들여질 수 있는 방식으로 나타낼 수 있게 해준다. 따라서 수학적 확률은 확률에 대한 고전적인 해석 방식으로 간주되며, 확률 이론의 발전에 중요한 기여를 했다고 볼 수 있다.
1.2.2. 통계적 확률
통계적 확률은 확률의 상대도수에 의한 해석이다. 확률의 상대도수에 의한 해석은 확률의 실험적 접근에 의한 방법으로, 반복 실험에 의하여 나타난 결과의 표현이다. 즉 어떤 실험을 무한히 반복하였을 때 사건 A가 일어난 경우가 30%라면 사건A가 발생될 확률은 30%라고 할 수 있다.
다시 말해, 통계적 확률은 경우의 수를 셀 수 없는 경우 중에서 통계를 바탕으로 확률을 구하는 것을 의미한다. 예를 들어 오늘 비 올 확률이 70%라고 할 때, 이는 수학적 확률의 공식에 의해 계산한 값이 아니라 그동안의 통계 데이터를 바탕으로 계산한 것이다. 또한 아들, 딸을 낳을 확률도 지금까지 태어난 사람들의 성비를 보면 1:1에 가깝기 때문에 통계적 확률로 딸을 낳을 확률이 1/2이 된다.
즉, 통계적 확률은 경험적으로 관찰된 자료를 바탕으로 확률을 추정하는 것으로, 수학적 확률과는 구분된다고 볼 수 있다.
1.2.3. 기하학적 확률
기하학적 확률은 경우의 수가 무수히 많아서 그 수를 셀 수 없을 때 사용되는 확률 개념이다. 지리적 또는 공간적 영역에서 특정 사건이 일어날 확률을 계산하는 방식이라고 할 수 있다.
예를 들어, 동그란 원판 위에 서로 다른 색의 부채꼴 모양으로 구분되어 있는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이때 빗금친 부분에 다트가 꽂힐 확률은 빗금친 부분의 면적이 전체 원판 면적에서 차지하는 비율로 계산할 수 있다. 즉, 기하학적 확률은 사건이 일어날 수 있는 공간적 영역의 비율을 통해 확률을 구하는 방식이다.
이처럼 기하학적 확률은 무수히 많은 경우의 수를 셀 수 없는 상황에서 활용되는 확률 개념으로, 특정 사건이 일어날 공간적 확률을 수치화하여 제시할 수 있다는 점에서 유용하다. 이는 수학적 확률이나 통계적 확률과는 구분되는...
참고 자료
강재훈, “직관이 아닌 과학…수비 시프트의 묘미” 「KBS뉴스(News)」, 2019.05.23. (링크 : https://www.youtube.com/watch?v=TmTGuHv38EI)
김양희, “극단적 수비 변형에 야수 등판까지 상식 파괴 이어지는 프로야구” 「한겨레신문」, 2021.04.24. (링크 : https://www.sisajournal.com/news/articleView.html?idxno=215820)
배영은, “프로야구 아웃사이드 파크 [49] 수비 시프트의 모든 것”, 「스포츠동아」, 2015.06.16. (링크 : https://ilyo.co.kr/?ac=article_view&entry_id=130177)
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Levine, D. M., Szabat, K. A., & Stephan, D. F. (2016). 경영통계 (김대수, 손병규, & 유영목, 역). 초아출판사.
Camm, J. D., Cochran, J. J., Fry, M. J., Ohlmann, J. W., & Anderson, D. R. (2024). 핵심 경영경제 통계학 (제10판, 권영훈, 권형구, & 김성수, 역). 정독.
