본문내용
1. 일과 위치 에너지
1.1. 실험 목적
이 실험의 목적은 경사면과 도르래를 이용하여 물체의 일과 위치 에너지의 개념을 이해하는 것이다.""
1.2. 실험 이론
1.2.1. 중력과 중력 위치에너지
물질이 갖는 질량에 의해 작용하는 힘을 중력이라고 한다. 지구 표면에서의 중력은 중력 가속도 g로 표현되며, 이 중력 가속도는 위치에 상관없이 일정하다고 가정할 수 있다. 중력에 의해 물체가 받는 힘은 중력의 크기와 물체의 질량에 비례한다. 이를 Newton의 중력 법칙이라고 하며, 수식으로 나타내면 F=mg와 같다. 여기서 F는 중력의 크기, m은 물체의 질량, g는 중력 가속도이다.
물체가 기준면에서 높이 h만큼 떨어진 곳에 위치할 때, 물체의 중력 위치에너지는 Ugravity=mgh로 표현된다. 중력 위치에너지의 단위는 N·m, 즉 줄(J)이다. 중력 위치에너지는 물체의 수직 높이에 의해서만 결정되며, 중력이 한 일은 위치에너지의 감소와 같다. 수식으로 표현하면 W=-ΔUgravity가 된다.
따라서 그림 1과 같이 초기 높이 yi에서 나중 높이 yf로 자유 낙하하는 동안 질량 m인 물체에 중력이 한 일은 W=mg(yf-yi)가 된다. 즉, 물체의 위치에너지 감소량과 같은 일을 중력이 한 것이다.
이처럼 중력에 의한 위치에너지는 물체의 질량과 높이에 비례하므로, 동일한 높이에 있는 두 물체의 중력 위치에너지는 질량에 비례한다. 또한 동일한 질량을 가진 두 물체의 중력 위치에너지는 높이에 비례한다. 이는 중력이 물체에 작용하는 힘의 크기가 질량과 높이에 따라 달라지기 때문이다.
1.2.2. 용수철의 복원력과 탄성 위치 에너지
용수철의 복원력과 탄성 위치 에너지는 용수철에 작용하는 힘과 용수철의 변형 정도의 관계를 나타낸다. 용수철에 힘이 가해지면 그 용수철은 변형되고, 이때 용수철이 원래의 상태로 돌아가려는 복원력이 작용한다. 이러한 복원력은 용수철의 늘어난 길이에 비례한다.
용수철 상수가 k인 용수철의 늘어난 길이가 x일 때, 탄성 위치 에너지는 {1} over {2} kx^{2}로 계산된다. 여기서 탄성 위치 에너지는 용수철의 늘어난 길이에 의해서만 결정되며, 용수철의 복원력이 한 일은 탄성 위치 에너지의 감소와 같다. 즉, W = - TRIANGLE U_{탄성}이 된다.
따라서 그림2의 경우 용수철의 복원력이 한 일은 W = - {1} over {2} k(x_{f}^{2} - x_{i}^{2}) = {1} over {2} k(x_{i}^{2} - x_{f}^{2})와 같다. 여기서 x_{i}는 용수철의 초기 위치이고, x_{f}는 나중 위치이다.
이를 통해 용수철에 작용하는 힘과 그에 따른 탄성 위치 에너지의 변화를 이해할 수 있다. 용수철 상수가 큰 경우 힘이 크게 작용하고 탄성 위치 에너지도 크게 변화한다는 것을 알 수 있다.
1.2.3. 용수철에 물체가 수직으로 매달린 경우
용수철에 물체가 수직으로 매달린 경우, 물체의 중력 위치 에너지와 용수철의 탄성 위치 에너지가 함께 고려된다.
물체의 중력 위치 에너지는 U_{중력} = mgh와 같이 표현된다. 여기서 m은 물체의 질량, g는 중력 가속도, h는 물체의 높이를 나타낸다. 따라서 물체의 높이가 변함에 따라 중력 위치 에너지도 변하게 된다.
한편, 용수철의 탄성 위치 에너지는 U_{탄성} = (1/2)kΔy^2과 같이 표현된다. 여기서 k는 용수철 상수, Δy는 용수철의 늘어난 길이를 나타낸다. 용수철이 늘어나면 탄성 위치 에너지가 증가하게 된다.
물체가 용수철에 수직으로 매달린 경우, 물체의 무게가 용수철을 늘리게 되고 이에 따라 용수철의 복원력이 작용한다. 물체의 초기 높이를 h_1, 늘어난 후 높이를 h_2라 하면 전체 위치 에너지 변화량은 다음과 같이 계산할 수 있다.
ΔU = U_2 - U_1 = mg(h_2 - h_1) + (1/2)k(Δy)^2
여기서 Δy = h_1 - h_2이다.
즉, 물체의 높이 변화에 따른 중력 위치 에너지 변화와 용수철의 늘어남에 따른 탄성 위치 에너지 변화의 합으로 전체 위치 에너지 변화량을 구할 수 있다.
마찬가지로 중력과 복원력이 한 일도 다음과 같이 계산할 수 있다.
W = -ΔU = mg Δy - (1/2)k(Δy)^2
이를 통해 용수철에 물체가 수직으로 매달린 경우, 위치 에너지의 변화와 중력 및 복원력이 한 일을 체계적으로 분석할 수 있다.
1.2.4. 물체가 경사각이 theta인 경사면에 놓여 있는 경우의 일과 위치 에너지
물체가 경사각이 theta인 경사면에 놓여 있는 경우의 일과 위치 에너지는 다음과 같다.
그림4와 같이 질량 m인 물체가 경사각이 theta인 경사면에 놓여 있는 경우를 고려하자. 물체의 한쪽 끝에 줄이 연결되어 있고, 이 줄은 도르래를 지나 용수철저울에 연결 되어 있다. 이때 경사면과 물체 사이의 마찰을 무시할 경우, 물체가 경사면을 d_1만큼 미끄러져 내려가면 용수철저울이 d_1만큼 아래로 잡아당겨진다.
질량 m인 물체와 중력의 수직항력은 F_중력 =mgN=mgcos theta 이므로, 경사면을 따라 물체를 아래로 내려가게 하는 힘은 F_경사면 =mgsin theta 가 되고, 이 힘은 용수철에 작용하는 힘과 같다.
물체가 경사면을 d_1만큼 이동하여 평형 상태에 도달했을 때 용수철이 d_1만큼 잡아 당겨지므로 다음 식이 성립한다.
F_경사면 =mgsin theta =kd_1
물체가 경사면을 따라 내려가는 동안 중력의 경사면 성분 F_경사면 =mgsin theta 가 한 일은 W_중력이 한 일 = vec{F_경사면} BULLET vec{s} =mgd_1 sin theta =kd_1^2 와 같고, 물체가 경사면을 따라 내려가는 동안 용수철의 복원력이 한 일은 W_복원력이 한 일 = int_0^(d_1) {vec{F_복원력} BULLET d vec{s} = 1/2 kd_1^2}가 된다.
즉, 경사면에 놓인 물체의 중력 위치에너지 변화와 탄성 위치에너지 변화를 계산할 수 있다는 것이다.
1.3. 실험 방법
실험 방법은 다음과 같다.
• 실험 1. 용수철 상수 측정
① 그림 7과 같이 질량을 알고 있는 추를 용수철에 매달고 용수철의 늘어난 길이를 측정한다.
② F=mg=k TRIANGLE y 관계식을 이용하여 용수철 상수 k를 계산한다.
• 실험 2. 물체가 용수철에 수직으로 매달린 경우
① 그림 8과 같이 구름질량을 용수철 저울에 매달고 용수철이 늘어나기 전, 실험 테이블 면으로부터 구름질량의 초기 높이 h_1을 측정한다.
② 용수철이 늘어난 후 실험 테이블 면으로부터 구름질량의 나중 높이 h_2와 용수철의 늘어난 길이 TRIANGLE y를 측정한다.
③ F=mg=k TRIANGLE y을 이용하여 구름질량의 질량을 계산한다.
④ TRIANGLE U=U_2-U_1=mg(h_2-h_1)+ 1/2 k(TRIANGLE y)^2와 W=- TRIANGLE U=mg TRIANGLE y- 1/2 k(TRIANGLE y)^2를 이용하여 전체 위치에너지 변화와 일을 계산한다.
• 실험 3. 물체가 경사각이 theta 인 경사면에 놓여 있는 경우와 일의 위치에너지
① 그림 9와 같이 장치를 구성하고, 경사각을 기록한다.
② 구름질량이 경사면을 미끄러지기 전, 용수철의 변위가 0임을 확인한다.
③ 구름질량이 경사면을 미끄러진 후 정지하였을 때, 늘어난 용수철의 길이 d_1을 측정한다.
④ F_1=mgsin theta와 F_2=kd_1을 계산하여 F_1=F_2임을 확인한다.
⑤ W_중력이 한 일= vec{F_경사면} ·vec{s}=mgd_1 sin theta=kd_1^2와 W_복원력이 한 일= ∫_0^d_1{vec{F_복원력} ·d vec{s}= 1/2 kd_1^2}를 이용하여 중력 위치에너지 변화와 탄성 위치에너지 변화를 각각 계산한다.이러한 실험 방법을 통해 용수철 상수 측정, 용수철에 물체가 수직으로 매달린 경우, 경사면에 놓인 물체의 일과 위치 에너지를 측정하고 계산할 수 있다. 실험 1에서는 용수철 상수를 계산하고, 실험 2에서는 매달린 물체의 질량과 위치 에너지 변화, 일을 구할 수 있다. 실험 3에서는 경사면에 놓인 물체의 힘과 위치 에너지 변화, 일을 계산할 수 있다. 이를 통해 중력과 용수철의 복원력이 물체의 일과 위치 에너지에 미치는 영향을 확인할 수 있다.
1.4. 실험 결과 및 실험값 구하기
1.4.1. 용수철 상수 측정 - 뒤틀린 경우
실험 1) 용수철 상수 측정 - 뒤틀린 경우에서는 질량을 알고...
