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1. 구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계
1.1. 개요 및 목적
구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계 실험은 기준 구슬의 위치에 따라 트랙 위의 구슬의 위치를 제어하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 서보의 각도를 제어하여 서보와 연결된 트랙을 기울여서 구슬의 위치를 제어해야 한다. 실험하기 전 수학적 모델링을 통해 직접 시뮬레이션을 수행하고, 실험 데이터와 시뮬레이션을 비교하여 제어기의 타당성을 검증하고자 한다. 이를 통해 구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계 기술을 습득하고, 실제 제어시스템에 대한 경험을 얻고자 한다.
1.2. 관련 이론
1.2.1. 라플라스 변환
라플라스 변환은 실시간 시스템의 시간 영역 해석을 주파수 영역에서 수행할 수 있게 해줌으로써 제어 이론과 공학 분야에서 매우 중요한 도구이다. 라플라스 변환이란 시간 함수 f(t)를 주파수 영역의 함수 F(s)로 변환하는 것이다. 이를 통해 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환할 수 있어 시스템의 동적 특성을 보다 쉽게 분석할 수 있다.
라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다:
F(s) = ∫(0~∞)f(t)e^(-st)dt
여기서 s는 복소수 변수이고, f(t)는 시간 영역의 함수, F(s)는 주파수 영역의 함수이다.
역 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다:
f(t) = (1/2πj) ∫(σ-j∞~σ+j∞)F(s)e^(st)ds
이를 통해 주파수 영역에서 구한 함수를 다시 시간 영역으로 변환할 수 있다.
라플라스 변환은 다음과 같은 기본적인 성질들을 가지고 있다:
1. 선형성: a*f(t) + b*g(t) ⇔ a*F(s) + b*G(s)
2. 미분 성질: f'(t) ⇔ s*F(s) - f(0)
3. 적분 성질: ∫(0~t)f(τ)dτ ⇔ F(s)/s
4. 시간 지연 성질: f(t-τ)u(t-τ) ⇔ e^(-sτ)*F(s)
이와 같은 라플라스 변환의 성질들은 제어 시스템 해석과 설계에 매우 유용하게 사용된다. 시간 영역의 미분 방정식을 라플라스 변환을 통해 대수 방정식으로 변환함으로써 보다 쉽게 해석할 수 있기 때문이다.
1.2.2. 정상상태
정상상태(steady-state)는 시간이 충분히 지나면 시스템의 출력이 안정되어 더 이상 변하지 않는 상태를 의미한다.
Laplace 역변환 식을 이용하여 정상상태에서의 출력값을 구할 수 있다. 앞서 Laplace 변환 식에서 살펴보았듯이, 함수 f(t)의 Laplace 변환은 F(s)이다. 그리고 f(t)의 최종값 정리(final value theorem)에 따르면 다음과 같다.
lim_{t->∞} f(t) = lim_{s->0} s F(s)
이때 s가 0으로 수렴하면 정상상태에서의 출력값을 구할 수 있다. 즉, 시간이 충분히 지나 시스템이 정상상태에 도달하면 출력값은 lim_{s->0} s F(s)가 된다.
예를 들어, 앞서 살펴본 시간함수 y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t)의 경우 Laplace 변환하면 Y(s) = 2/(s+1) - 1/(s+2)가 된다. 이때 정상상태에서의 출력값은 lim_{s->0} s Y(s) = 0이 된다. 즉, 시간이 충분히 지나면 출력값 y(t)는 0으로 수렴한다.
이처럼 정상상태에서의 출력값은 Laplace 역변환 시 s가 0으로 수렴할 때의 값이 된다. 이를 통해 시스템의 장기적인 동작을 예측할 수 있으며, 제어기 설계 시에도 중요한 지표로 활용된다.
1.2.3. 전달함수
전달함수는 제어시스템의 동적 운동을 분석하기 위해 시스템을 수학적으로 모델링화할 때 사용되는 중요한 개념이다. 전달함수는 출력 변수의 라플라스 변환과 입력 변수의 라플라스 변환의 비로 정의된다.
시스템의 전달함수는 시스템의 동역학을 묘사하는 관계를 나타낸다. 전달함수는 선형적이고 정적인 시스템에서만 정의되는데, 이는 시간에 따라 변하는 매개변수가 없어야 하기 때문이다. 라플라스 변환은 이런 정적 시스템에서만 사용될 수 있다.
전달함수는 시스템의 입출력 관계를 표현하는 것이지 시스템의 내부 구조에 관한 정보는 포함하지 않는다. 초기조건이 모두 0인 상태에서 스프링-질량-댐퍼 시스템의 전달함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
출력/입력 = G(s) = 1 / (Ms^2 + bs + k)
여기서 M은 질량, b는 댐핑 계수, k는 스프링 상수이다. 이처럼 전달함수는 시스템의 입출력 관계를 나타내는 중요한 수학적 모델링 도구라고 할 수 있다.
1.2.4. Root locus
Root locus는 시스템의 매개변수가 0에서 무한대로 변할 때 s-평면에서 윤곽을 따라 그려지는 특성방정식의 근들의 경로이다.
폐쇄루프 제어 시스템의 동적 성능은 폐쇄루프 전달함수로 표현된다. 이때 전달함수는 {Y(s)} over {R(s)} = {p(s)} over {q(s)}와 같이 나타낼 수 있으며, p(s)와 q(s)는 s에 관한 다항식이다. 특성방정식 q(s)의 근은 시스템의 응답 모드를 결정한다.
간단한 단일 루프 시스템의 경우, 특성방정식은 1+KG(s)=0과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 K는 매개변수이며 0≤K<∞이다. 시스템의 특성 근은 이 특성방정식을 만족해야 하며, 이 근들은 s-평면에 위치하게 된다. s가 복소수 변수이기 때문에 특성방정식은 극좌표 형태로 표현할 수 있다. 즉, |G(s)| = 1/K이고 ∠KG(s...
