소개글
"세상을바꾸는아름다운수학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 수학의 본질과 가치
1.1. 베이즈의 정리와 조건부 확률
1.2. 베이지안의 추론과 응용
2. 수학에 대한 새로운 이해
2.1. 베이즈 정리와 베이지안 추론의 차이
2.2. 수학의 아름다움과 삶의 의미
3. 수학자 오일러의 업적
3.1. 오일러의 생애와 수학적 기여
3.2. 오일러의 주요 업적
3.2.1. 한붓그리기 문제
3.2.2. 수학적 표현의 확립
3.2.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
3.2.4. 오일러의 공식
4. 수학 교육에 대한 성찰
4.1. 수학 교육의 문제점
4.2. 수학 교육의 개선 방향
5. 참고 문헌
본문내용
1. 수학의 본질과 가치
1.1. 베이즈의 정리와 조건부 확률
베이즈의 정리와 조건부 확률은 사건들 간의 인과관계를 수학적으로 표현하고 분석하는데 중요한 역할을 한다. 베이즈의 정리는 새로운 정보가 주어졌을 때 기존의 믿음이나 확률을 어떻게 개선할 수 있는지를 보여준다.
베이즈의 정리에 따르면, 관심 있는 사건 A가 발생했을 때 다른 사건 B가 발생할 조건부확률 P(B|A)는 해당 사건들 간의 관계를 나타내는 가능도 P(A|B)와 사건 A, B의 사전확률 P(A)와 P(B)를 이용하여 계산할 수 있다. 즉, P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)이다. 이를 통해 관심 있는 사건의 사후확률을 계산할 수 있다.
조건부확률은 두 사건 간의 인과관계를 수치화할 수 있게 해준다. 예를 들어 특정 질병이 있을 때 증상이 있을 확률 P(증상|질병)은 질병이 있는 사람들 중 실제로 증상이 나타나는 비율을 의미한다. 반면에 증상이 있을 때 질병이 있을 확률 P(질병|증상)은 증상이 관찰되었을 때 실제로 질병이 있을 가능성을 나타낸다. 이처럼 조건부확률은 사건들 간의 관계를 보여주는 중요한 개념이다.
베이즈 정리는 이러한 조건부확률의 관계를 활용하여 새로운 정보가 주어졌을 때 기존의 확률을 갱신하는 방법을 제공한다. 예를 들어 질병 진단 시 증상 관찰 결과를 활용하여 질병의 발생 가능성을 계산할 수 있다. 이처럼 베이즈 정리는 다양한 분야에서 중요하게 활용되고 있다.
1.2. 베이지안의 추론과 응용
베이지안의 추론과 응용은 신뢰와 불확실성이 공존하는 세상에서 합리적이고 과학적인 의사결정을 가능하게 해준다"" 베이지안 추론은 통계적 추론의 한 방법으로, 추론해야 하는 대상의 사전 확률과 추가적 관측을 통해 획득한 데이터를 기반으로 해당 대상의 사후 확률을 추론하는 방법이다"" 이를 통해 사전 정보와 새로운 증거를 결합하여 가설을 업데이트하고 미래를 예측할 수 있다""
베이지안 추론은 데이터와 생성 모형, 모수 간의 관계를 긴밀히 연결하여 접근한다"" 사전분포, 데이터, 생성모형, 모수 모두 긴밀히 연결되어 있다"" 베이지안 자료분석은 데이터와 생성모형을 알고 있을 때 베이즈 추론을 통해 모수를 찾아낸다"" 반대로 모수와 생성모형을 알고 있다면 데이터를 생성시킬 수 있다""
베이지안 추론의 과정을 예로 들면 다음과 같다"" 동전을 여러 번 던져서 앞면이 h번, 뒷면이 t번 나왔다고 가정하자"" 베이즈 규칙을 활용하면 앞면이 나올 확률 p의 사후확률 분포는 파라메터가 α+h, β+t인 베타분포를 따른다"" 예를 들어 동전을 10번 던져 앞면을 3번 관측했다고 하면, 실험 대상 동전이 공평한 동전이라고 생각해 α,β를 모두 1로 두었다면 p의 사후분포는 파라메터가 1+3, 1+7인 베타분포가 된다""
베이지안 추론의 장점은 모수들을 확률변수로 다루어 각 모수에 대한 점 추정이 아닌 사후분포 전체를 추정할 수 있다는 것이다"" 이를 통해 고전적 선형모형에 비해 미래를 예측하기 위한 더 풍부한 정보를 활용할 수 있다"" 특히 시간의 흐름 속에서 역사적인 데이터를 이용해 모형을 업데이트해 나가는 데 적합하다""
베이지안 추론은 군사적 관점에서 과거의 전쟁사 자료를 분석하고 예측하는데 활용될 수 있다"" 과거 전쟁사 자료를 수집하여 미래에 있을 수 있는 전쟁을 예측하고, 선형모형으로부터 얻을 수 없는 풍부한 미래 예측 데이터를 얻을 수 있다...
참고 자료
토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
조연우. "조건부확률과 응용에 관한 연구." 국내석사학위논문 단국대학교, 2005. 서울
베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
Lee, S.-L., Yoo, B. J., Youn, S., Bang, S.-H., & Jung, J.-W. (2021). A Study on the War Simulation and Prediction Using Bayesian Inference.The Journal of the Korea Contents Association,21(11), 77–86.
맹기완, 야밤의 공대생 만화, 뿌리와 이파리, 2017
E. T bell, 김종철 역, 고독한 천재들, 지앤지, 2006
김화영, 교과서를 만든 수학자들, 글담, 2005
와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
1
2
3
4
5
6
7