본문내용
1. 수열의 극한과 적분
1.1. 리만적분과 르베그 적분
1.1.1. 리만적분의 정의 및 특성
리만적분은 구분구적법을 발전시킨 것으로, 적분 구간을 나눌 때 같은 길이의 구간으로 나누지 않고 임의의 구간으로 나눈 후에 직사각형을 이용하여 넓이를 구하는 적분 방법이다. 구간에서 직사각형의 높이를 계산할 때 각 구간의 끝점이 아닌 임의의 점의 함숫값을 구한다.
리만적분에서는 정의역의 닫힌구간 [a,b]를 유한 개로 나눈다. 이때 똑같은 길이로 닫힌구간을 나누지 않아도 된다. 또한 닫힌구간 [a,b]는 합집합의 기호를 이용하여 여러 개의 닫힌 부분구간의 합으로 표현할 수 있다.
리만하적분은 각 부분구간에 해당하는 함숫값 중 최솟값(하한)을 기준으로 쪼개는 방법이고, 리만상적분은 각 부분구간에 해당하는 함숫값 중 최댓값(상한)을 기준으로 쪼개는 방법이다. n개의 직사각형의 넓이를 모두 더하면 넓이를 근사적으로 얻을 수 있다.
1.1.2. 리만적분의 한계와 문제점
리만적분의 한계와 문제점은 다음과 같다.
첫째, 리만적분은 불연속 함수에 대해 적용할 수 없다. 디리클레 함수와 같은 불연속 함수의 경우 리만하적분과 리만상적분의 값이 달라지므로 리만적분이 정의되지 않는다. 리만적분은 함수의 값이 점에서 연속이어야만 적용할 수 있다.
둘째, 리만적분은 무계함수에 대해서도 정의되지 않는다. 함수가 무계함수일 경우 리만하적분과 리만상적분의 값이 달라지기 때문에 리만적분이 존재하지 않는다. 무계함수에 대해서는 극한의 개념을 도입해야 합적분이 가능하다.
셋째, 리만적분은 함수열의 극한함수에 대해서도 적용할 수 없는 경우가 있다. 리만적분이 가능한 함수열의 극한함수가 리만적분이 불가능할 수 있다. 이는 리만적분법의 한계를 보여주는 대표적인 사례이다.
이와 같이 리만적분은 불연속 함수, 무계함수, 함수열의 극한함수 등에 대해서는 적용할 수 없다는 한계가 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 등장한 개념이 르베그 적분이다.
1.1.3. 르베그 적분의 정의 및 특성
르베그 적분은 측도공간에서 정의된 적분으로, 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의한다. 리만 적분이 함수의 정의역을 쪼갠 후 직사각형의 넓이를 이용하여 적분을 정의했다면, 르베그 적분은 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의하는 것이다.
르베그 적분의 정의는 다음과 같다. 우선 단순 함수의 르베그 적분은 아래와 같이 정의한다. 함수 f가 단순 함수일 때, 그 값들의 합집합이 A라는 측도공간에서의 집합들의 합으로 정의한다.
음이 아닌 가측 함수의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다. 함수 f가 음이 아닌 가측 함수일 때, 음이 아닌 단순 함수열 {fn}이 f에 증가수렴하면, f의 르베그 적분은 lim n→∞ ∫fn dμ로 정의된다.
마지막으로 가측 함수 f의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다. 우선 f를 양의 함수 f+와 음의 함수 f-로 분리한다. 그리고 이 둘의 르베그 적분을 각각 구하여 그 차를 f의 르베그 적분으로 정의한다.
르베그 적분의 중요한 정리로는 단순 수렴 정리, 파투의 보조정리, 지배 수렴 정리 등이 있다. 르베그 적분법은 실선의 그래프가 아니어도 적용 가능하다는 장점이 있다. 이는 그래프가 어떤 수렴하는 값을 향해 점근하는 경우에도 적용 가능함을 뜻한다. 리만 적분법은 면적에 극한값을 취하는 것이 불가능하지만, 르베그 적분에서는 가로 방향으로 구간을 끊어내기 때문에 세로를 따라 델타 t가 움직이며 해당 y값의 변동 폭인 여러 개의 x들이 동시에 취해진다.이처럼 르베그 적분은 리만 적분의 한계를 극복하기 위해 등장한 적분법으로, 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의한다. 단순 함수, 음이 아닌 가측 함수, 가측 함수 등에 대해 다양하게 정의되며, 단순 수렴 정리, 파투의 보조정리, 지배 수렴 정리 등의 중요한 정리가 성립한다. 또한 리만 적분이 불가능한 경우에도 적용 가능하다는 장점이 있다. 이처럼 르베그 적분은 수학 분석학에서 매우 중요한 역할을 담당하고 있다.
한편, 현대 수학에서는 르베그 적분 외에도 다양한 형태의 일반화된 적분 이론들이 연구되고 있다. 예를 들어, 상대적분, 퍼지 적분, 웨이브릿 변환 등이 그것이다. 이들은 각자의 독특한 특성을 바탕으로 기존 적분이론의 한계를 극복하고자 하는 시도들이다. 이러한 연구들은 수학 분석학의 발전에 중요한 기여를 하고 있다.
1.1.4. 르베그 적분의 장점
르베그 적분의 장점은 다음과 같다.
먼저, 르베그 적분은 리만 적분이 불가능한 불연속 함수와 무계함수에 대해...
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