소개글
"고1수학주제탐구"에 대한 내용입니다.
목차
1. 삼각함수의 특징 & 코사인 법칙의 새로운 재발견
1.1. 코사인법칙의 다양한 증명법들
1.1.1. 유클리드의 《원론》에서의 증명
1.1.2. 피티스쿠스의 증명 방법
1.1.3. 좌표평면을 이용한 증명 방법
1.1.4. 원 안에서 만나는 두 현을 이용한 증명 방법
1.2. 삼각함수의 합성(현의 진동, 파동의 합성)
1.2.1. 삼각함수 합성의 주목적
1.2.2. 삼각함수 합성의 대표적 공식들
1.2.3. 삼각함수의 합성된 형태에서의 정보들
2. 기숙사학교의 매점이 운영하는 카페인 음료 판매 제한 정책의 실효성 검토
2.1. 적정 카페인 섭취량 준수 여부
2.2. 카페인 음료 섭취 제한 정책의 실효성 여부
2.3. 카페인 관련 지식 숙지 정도와 적정 카페인 섭취량 준수 정도 사이의 관계
3. 기하의 원리를 이용한 원심분리기
3.1. 원심분리기의 정의 및 수학적 원리
3.2. 원심분리기의 종류
3.2.1. 분석용 원심분리기
3.2.2. 제조용 원심분리기
3.2.3. 저속, 고속, 초고속 원심분리기
4. 참고 문헌
본문내용
1. 삼각함수의 특징 & 코사인 법칙의 새로운 재발견
1.1. 코사인법칙의 다양한 증명법들
1.1.1. 유클리드의 《원론》에서의 증명
유클리드의 《원론》에서의 코사인법칙 증명은 다음과 같다.
삼각형 ABC의 한 변 AB와 그 변에 대한 내각 C가 주어졌을 때, 나머지 변 BC의 길이를 구하는 것이 코사인법칙의 목적이다. 유클리드는 《원론》 제1권 제47보에서 이 문제를 기하학적으로 증명하였다.
우선 삼각형 ABC를 그리고, 변 AB의 중점을 D라 하자. 그리고 변 AC에 수직인 직선을 그려 점 E와 만나게 한다. 이때 삼각형 ADE는 이등변 삼각형이 된다. 또한 변 DE는 변 AC에 수직이므로 ΔACE는 직각삼각형이 된다.
이제 피타고라스 정리를 이용하여 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
(1) AD^2 = AB^2 / 4
(2) AC^2 = AE^2 + CE^2
그리고 삼각형의 닮음 정리에 따라 다음 관계식도 성립한다.
(3) AE / AC = AB / AD
식 (1)과 (3)을 이용하면 AE^2 = (AB^2 / 4) × (AB / AD)^2 = AB^2 / 4 × AB^2 / AD^2 = AB^4 / 4AD^2
식 (2)에 대입하면 AC^2 = AB^4 / 4AD^2 + CE^2
마지막으로 코사인법칙을 적용하면 BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB·AC·cosC가 도출된다.
이처럼 유클리드는 기하학적 원리를 활용하여 코사인법칙을 엄밀하게 증명하였다. 이는 수학사적으로 매우 중요한 업적이라고 할 수 있다.
1.1.2. 피티스쿠스의 증명 방법
피티스쿠스의 증명 방법은 코사인법칙을 기하학적으로 증명한 방식이다. 피티스쿠스는 직각삼각형 ABC에서 AB=a, BC=b, AC=c라 할 때, AB와 BC의 교점 E를 이용하여 코사인법칙을 증명하였다.
우선 삼각형 ABC의 내접원의 중심을 O라 하고, 직각삼각형 AEB를 그린다. 피타고라스 정리에 따라 AE^2 + EB^2 = AB^2이다. 그리고 작은 삼각형 AEB에서 AE * EB = ADxAE가 성립한다.
이어서, 삼각형 ABC에서 AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABxBCcos(C)를 도출하기 위해서는, 먼저 코사인 제2법칙에 의해 AD/AB = cos(C)를 보여줘야 한다.
삼각형 AEB에서 피타고라스 정리에 따라 AE^2 + EB^2 = AB^2이고, 마찬가지로 AE * EB = ADxAE라는 관계를 활용하면, AD/AB = cos(C)를 보일 수 있다.
이렇게 코사인 제2법칙을 증명한 뒤, 삼각형 ABC에서 AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABxBCcos(C)를 도출할 수 있다. 즉, 피티스쿠스의 증명 방법은 직각삼각형 AEB와 삼각형 ABC의 기하학적 관계를 활용하여 코사인법칙을 증명한 것이다.
1.1.3. 좌표평면을 이용한 증명 방법
좌표평면을 이용한 증명 방법은 코사인법칙을 기하학적으로 증명하는 방법 중 하나이다. 이 방법은 평면 위에 삼각형을 그린 후, 각 변의 길이와 각도를 이용하여 코사인법칙을 유도하는 방식이다.
먼저 삼각형 ABC를 평면 위에 그린다. 각 변의 길이를 a, b, c로 하고, 각 변에 대한 각을 A, B, C로 표현한다. 이때 피타고라스 정리와 삼각형의 합동 조건을 이용하여 코사인법칙을 유도할 수 있다.
구체적인 증명 과정은 다음과 같다. 삼...
참고 자료
코사인법칙 - 위키 백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)[유클리드의 증명]
EBS Math - 즐거운 수학[코사인법칙을 이용하여 삼각형의 한 변의 길이 구하기]
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코사인 제 2법칙의 다양한 증명방법 분석 -Communications of Mathematical Education | Korea Science
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기하 실생활, 벡터 실생활 활용! 10가지 소.. : 네이버블로그 (naver.com)
원심분리기 정의, 원리, 분류 (tistory.com)
[연구안전 서포터스] 원심분리기의 원리, 종류.. : 네이버블로그 (naver.com)
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