본문내용
1. 최대전력 전송이론의 가시화
1.1. 회로 구성
'1.1. 회로 구성'에 대한 내용은 다음과 같다.
위 그림과 같이 회로를 구성하였다. 회로는 전압원 V, 가변저항 R, 그리고 부하저항 R2로 구성된다. 전압원 V는 10V의 직류전압을 공급하며, 가변저항 R의 값은 0.1Ω부터 20Ω까지 변화시켜가며 실험을 진행하였다. 부하저항 R2는 고정값 5Ω을 사용하였다. 회로 분석에서 R을 0.1Ω부터 20Ω까지 변화시키기에, 지금 대입하는 5Ω은 5가 아닌 다른 값을 입력해도 같은 결과가 얻어짐을 확인하였다. 다만, R에 아무 값도 대입되어 있지 않을 경우, R이 정의되지 않았다는 오류가 발생하였다. 따라서 R에 반드시 값을 대입해야 한다는 것을 알 수 있다.
1.2. 커서 분석
위 표를 보면, Y1의 값은 빨간색 커서의 위치를 나타내고, Y2는 초록색 커서의 위치를 나타낸다. 각각의 커서는 마우스 좌클릭, 우클릭으로 설정이 가능했다. 표 오른쪽의 Max와 Min의 값은 각각 두 커서의 위치를 끝으로 하는 닫힌공간에서의 최댓값과 최솟값을 나타낸다. 즉, 커서 분석을 통해 회로 시뮬레이션의 특정 구간에서 전력 소모량의 최댓값과 최솟값을 손쉽게 확인할 수 있다는 것을 알 수 있다. 이러한 커서 분석 기능은 회로 설계 및 분석 시 유용하게 활용될 수 있다.
1.3. 시뮬레이션 결과
시뮬레이션 결과를 보면, R을 0.1옴부터 20옴까지 증가시킬 때 R에서 소모되는 전력이 최대가 되는 지점이 나타난다. 그래프의 x축은 R이고 y축은 R에서 소모되는 전력의 양이다. 커서를 이용하여 최대값을 찾아보면, R=1옴일 때 R_2에서의 소비전력이 25W로 최대값을 가지는 것을 알 수 있다.
이는 R1을 전원저항, R2를 부하저항이라고 생각하고 회로를 분석해보면, R_t =R_1 +R_2 =1 +R인 직렬회로이므로 i_R_1 =i_R_2 =i= { V} over { R}= { 10} over { 1+R}가 되고, R_2에서 소모되는 전력은 P_R_2 = iV_R_2 = i^2 R_2 = { 100R} over { (1+R)^2}로 계산할 수 있다.
이 식을 미분하면 P_R_2 prime = { `100} over { (1+R)^2}- { 200R} over { (1+R)^3}가 되고, P_R_2 prime이 0일 때 P_R_2가 최대값을 가지므로, 0= { `100} over { (1+R)^2}- { 200R} over { (1+R)^3}를 풀면 R=1옴이 된다.
이는 커서로 찾은 R_2의 값과 그에 대응하는 최대값 25W와 일치하며, 전원저항과 부하저항이 일치해야 한다는 최대전력 전송이론과도 일치한다.
1.4. 최대값 확인
위 표를 보면, R=1일 때 R_2에서의 소비전력이 최대이고, 그 값은 25W임을 알 수 있다. R1을 전원저항, R2를 부하저항이라고 생각하고 위 회로를 분석해보면 R_t =R_1 +R_2 =1 +R직렬회로이므로 i_R_1 =i_R_2 =i= { V} over { R}= { 10} over { 1+R}R_2에서 소모되는 전력은 P_R_2 = iV_R_2 = i^2 R_2 = { 100R} over { (1+R)^2} 미분하면 P_R_2 prime = { `100} over { (1+R)^2}- { 200R} over { (1+R)^3}P_R_2 prime이 0일 때, P_R_2가 최대값을 가지므로, 0= { `100} over { (1+R)^2}- { 200R} over { (1+R)^3}````RARROW````2R=1+R THEREFORE `R=1Ω일 때 최대값을 가지고, 그 값은 25W이다. 이는 커서로 찾은 R_2의 값과 그에 대응하는 최대값과 일치하고, 전원저항과 부하저항이 일치해야 한다는 최대전력 전송이론과도 일치한다.
2. 최대값 찾는 문제 연습
2.1. 회로 구성
위 회로는 RX에 대한 최대 전력 소모 문제를 해결하기 위해 구성된 것이다. 회로는 전압원 V와 저항 R1, RX, R2로 이루어져 있다. RX의 값을 변화시키며 각각의 전력 소모량을 측정하여 최대값을 확인할 수 있도록 구성되었다. 특히 RX는 가변저항으로 설계되어 0.1Ω부터 100Ω까지 그 값을 변화시킬 수 있다. 이를 통해 RX에서 소비되는 전력의 변화를 관찰할 수 있으며, 최대값이 얻어지는 지점을 찾아낼 수 있다. 이러한 회로 구성은 최대 전력 전송 이론을 가시화하고 실험적으로 검증하기 위한 목적으로 설계된 것이다.
2.2. 시뮬레이션 결과
위 그래프는 RX의 값을 0.1Ω부터 100Ω까지 증가시킬 때 RX에서 소비되는 전력을 보여준다. 그래프를 통해 RX의 값이 6Ω일 때 전력소모가 최대 1.5W임을 확인할 수 있다.
이론적으로 살펴보면, 전체 회로의 총 저항 Rt는 R1 + (R2*R3)/(R2+R3)로 계산할 수 있다. 그리고 전압 V는 10V이므로, 전류 i는 V/Rt가 된다. RX에서 소모되는 전력 PRX는 i^2*RX로 계산할 수 있다. 이를 통해 RX가 6Ω일 때 PRX가 최대가 되는 것을 확인할 수 있다.
따라서 커서를 통해 찾은 최대값인 RX=6Ω, PRX=1.5W와 이론적 계산 결과가 일치함을 알 수 있다. 이는 최대전력 전송 이론에 부합하는 결과라고 볼 수 있다.
2.3. 커서를 통한 최대값 확인
위 문서에서 '2.3. 커서를 통한 최대값 확인'에 대한 내용은 다음과 같다.
회로에서 가변저항 R을 0.1ohm부터 20ohm까지 변화시키며 시뮬레이션을 수행한 결과, R=1ohm일 때 R_2에서의 소비전력이 최대값 25W를 나타내는 것을 확인할 수 있다. 이는 커서를 이용하여 직접 측정한 결과이다.
수식적으로 분석해 보면, 전원저항과 부하저항이 일치할 때 최대전력 전송이 이루어진다는 이론을 뒷받침한다. 즉, R_t = R_1 + R_2이고 이때 R_1 = R_2 = 1ohm이 되어 최대전력이 전달되는 것이다.
따라서 커서를 통해 찾은 최대값 25W와, 이론적으로 계산한 최대값이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 이를 통해 회로의 동작 및 최대전력 전송 이론을 가시적으로 확인할 수 있었다.
2.4. 수식을 통한 최대값 분석
'2.4. 수식을 통한 최대값 분석'
병렬회로에서 R_3에 걸리는 전력은 P_R_3 = i_3^2 R_3이다. 이를 최대로 만들기 위해서는 i_3를 최대로 해야 한다. i_3 = {10 R_2} over {R_1 (R_2 + R_3) + R_2 R_3}이므로, 이 식을 미분하여 0이 되는 R_3 값을 찾으면 최대값을 구할 수 있다.
i_3 prime = {-10 R_1 R_2} over {(R_1 (R_2 + R_3) + R_2 R_3)^2} - {10 R_2^2} over {(R_1 (R_2 + R_3) + R_2 R_3)^2}
이 식을 0으로 만들면 R_3 = 6Ω이 된다. 따라서 R_3 = 6Ω일 때 P_R_3가 최대값 1.5W를 갖게 된다.
이는 커서를 통해 찾은 최대값과 일치하며, 전원저항과 부하저항이 같아야 한다는 최대전력 전송이론과도 일치하는 결과이다.
3. 전류전원을 이용하는 예제
3.1. 회로 분석
IDC를 이용하여 병렬연결된 전류회로를 구성하였다. 이 회로에서는 전압이 아닌 전류의 세기가 정해져 있으므로, 각 분기점에서 KCL(키르히호프 전류법칙)을 적용하여 병렬 회로에 나눠지는 전압을 구할 수 있다. 또한 이를 통해 각 저항에서 소모되는 전력을 계산할 수 있다.
측정 결과에 따르면, 회로 전체의 저항 Rt를 계산하여 전체 전류 제곱과의 곱으로 전체 회로에서 소모되는 전력을 구할 수 있다. 이렇게 구한 전체 전력은 각 저항별 소모 전력을 모두 더한 값과 일치한다.
구체적으로, KCL을 적용하면 i_R_4 = i_R_5 +i_R_7 = i_R_8 +i_R_9 +i_R_10 =i_R_11 =3A, i_R_5 =i_R_6 임을 알 수 있다. 각 저항별 전력소모를 계산하면, P_R_4 =i_{R_4}^{2}R_4 = 9W, P_R_11 =i_{R_11}^{2}R_11 = 72W, P_R_7 =i_{R_7 }^2 R_7 = 12W, P_R_5 =i_{R_5 }^2 R_5 = 2W, P_R_6 =i_{R_6 }^2 R_6 = 4W, P_R_9 = i_{R_9}^2 R_9 = 5.778W, P_R_8 = i_{R_8}^2 R_8 = 6.933W, P_R_10 = i_{R_10}^2 R_10 = 4.952W이다.
이를 모두 합하면 전체 저항의 소비전력은 약 116.7W이다. 다른 방법으로 전체 저항 Rt를 계산하고, 총 전류 제곱과 곱하면 동일한 116.66W가 된다. 따라서 이 회로에서는 각 저항별 소모 전력을 모두 더한 값과 전체 저항을 통해 구한 전체 전력이 일치함을 확인할 수 있다.
3.2. 측정 결과 해석
위 회로에서는 전류전원 IDC를 이용하여 각 저항에 흐르는 전류와 전력소모를 측정하였다. 측정 결과를 보면, KCL(Kirchhoff's Current Law)을 적용하여 각 분기점에서의 전류를 분석할 수 있다.
먼저 R_4와 R_11에는 공통적으로 3A의 전류가 흐르고 있음을 확인할 수 있다. 이는 KCL에 따라 i_R_4 = i_R_5 + i_R_7 = i_R_8 + i_R_9 + i_R_10 = i_R_11 = 3A가 성립하기 때문이다.
또한 R_5와 R_6에는 같은 전류가 흐르고 있는데, 이는 이들이 병렬로 연결되어 있기 때문이다. 즉, i_R_5 = i_R_6이 성립한다.
R_7에 흐르는 전류 i_R_7은 R_5와 R_6에 흐르는 전류의 합이 되고, R_8, R_9, R_10에 흐르는 전류의 비는 각 저항값의 비에 따라 결정된다. 구체적으로 i_R_9 : i_R_8 : i_R_10 = 35 : 42 : 30이 된다.
이렇게 각 저항별 전류 흐름을 분석하고, 개별 저항에서의 전력 소모를 계산하면 전체 회로에서 소모되는 전력을 구할 수 있다. 실제로 각 저항별 전력 소모를 모두 합하면 116.7W가 되고, 이는 프로그램을 통해 구한 전원의 전력 공급량과 일치한다.
이를 통해 주어진 복잡한 회로에서도 KCL을 활용하여 각 분기점에서의 전류를 분석하고, 이를 토대로 전체 회로의 전력 소모를 구할 수 있음을 확인하였다.
3.3. 다른 방법으로 전체 전력 검증
전체 회로의 전력 소비를 다른 방법으로 검증한 내용은 다음과 같다.
회로 전체의 저항 R_t를 계산하여 전체 전류의 제곱과의 곱으로 전체 회로에서 소모되는 전력을 구할 수 있었다. 각 저항별로 계산한 전력 소비의 합과 이렇게 구한 전체 전력 소비가 일치하는 것을 확인하였다.
먼저 총 저항 R_t를 계산하였다. R_t = R_4 + R_n + R_m + R_11 이며, R_n = (R_5 + R_6)R_7 / (R_5 + R_6 + R_7), R_m = (R_8 * R_9 * R_10) / (R_8 * R_9 + R_9 * R_10 + R_10 * R_8)로 산출하였다. 이를 통해 R_t = (45 / 7) kΩ으로 계산되었다.
그리고 전체 전류 i = 3A 이므로, 전체 회로에서 소모되는 전력은 P = i^2 * R_t = 116.66W로 계산되었다.
한편 앞서 각 저항별로 계산한 전력 소비의 합은 P_R_4 + P_R_5 + P_R_6 + P_R_7 + P_R_8 + P_R_9 + P_R_10 + P_R_11 = 116.7W로, 이 값과 전체 회로 전력 소비 값이 거의 일치함을 확인하였다.
따라서 각 저항에서의 전력 소비를 모두 더한 값과 전체 회로에서의 전력 소비를 별도로 계산한 값이 유사하여, 회로 분석이 정확하게 이루어졌음을 보여준다고 할...
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