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1. 필터의 이해와 설계
1.1. 필터의 기본 원리
전자 회로에서 사용되는 회로 소자들의 임피던스는 주파수에 따라 변화한다. 예를 들어 인덕터의 임피던스는 주파수에 비례하여 증가하는 반면, 커패시터의 임피던스는 주파수에 반비례하여 감소한다. 이러한 회로 소자들의 주파수 특성을 이용하여 원하는 주파수 성분만을 선택적으로 통과시키거나 제거할 수 있는데, 이러한 목적으로 사용되는 회로를 필터라고 한다.
입력 신호가 정현파 v_g(t)=V_g cos(ωt+φ_g)라고 할 때, 출력 신호 v_o(t)=V_o cos(ωt+φ_o)로 나타낼 수 있다. 여기서 입력 신호 V_g와 출력 신호 V_o의 비로 정의되는 전달 함수 H=V_o/V_g=He^(jφ)로 표현할 수 있다. 전달 함수의 크기 H에 의해 회로의 주파수 특성이 결정된다.
특정 주파수 대역 ω_1 < ω < ω_2에서 H=1이고 그 외 대역에서 H=0이라면, 입력 신호의 주파수 성분 중 ω_1 < ω < ω_2 영역의 성분은 회로 내에서 감쇄 없이 출력으로 전달되지만 그 외 주파수 영역의 성분은 모두 감쇄된다.
실제로는 통과 대역과 저지 대역의 경계로 전달 함수의 크기가 H=1/sqrt(2)(=0.707)이 되는 주파수를 사용하며, 이를 3dB 주파수 ω_3dB라고 부른다. 이는 0.707을 데시벨 단위로 표현하면 -3dB가 된다.
1.2. 저역 통과 필터
저역 통과 필터는 낮은 주파수의 신호는 통과시키고 높은 주파수의 신호는 차단하는 회로이다. RC 회로를 이용하여 저역 통과 필터를 구현할 수 있는데, 이 때 커패시터의 리액턴스 값이 저항 값보다 크면 저주파 신호는 통과하고 고주파 신호는 커패시터에 의해 차단된다.
이러한 RC 저역 통과 필터의 전달 함수는 다음과 같이 표현된다:
LEFT | { V_C} over {V } RIGHT | = { 1} over { sqrt { 1+( { omega } over { omega_0 } )^2} }
여기서 ω0는 차단 주파수로, ω0 = 1/RC 이다. 즉, 차단 주파수에서의 출력 전압의 크기는 입력 전압의 약 70.7%가 된다. 이를 데시벨 단위로 나타내면 -3dB가 된다.
RC 저역 통과 필터에서 ω/ω0 = 1인 지점의 출력 전압은 입력 전압의 약 0.707배가 된다. 이는 저항과 커패시터에 걸리는 전압이 동일하기 때문이다. 따라서 실제 필터에서의 차단 주파수는 전력이 반으로 줄어드는 주파수 지점, 즉 ω=ω0 일 때의 주파수가 된다.
이러한 저역 통과 필터는 고주파 노이즈를 제거하는 데 주로 사용되며, 동조 회로, 증폭기 입력단, 전원 공급장치 등 다양한 응용 분야에서 활용된다.
1.3. 고역 통과 필터
RL 고역 통과 필터는 저항과 인덕터가 직렬로 연결된 회로로, 주파수가 증가함에 따라 인덕터의 리액턴스가 증가하여 높은 주파수 신호는 잘 통과시키고 낮은 주파수 신호는 차단하는 특성을 가진다.
RL 고역 통과 필터의 전달 함수는 다음과 같이 표현된다:
LEFT | {V _{L}} over {V} RIGHT | = {1} over {sqrt {1+( {omega _{0}} over {omega } ) ^{2}}}
여기서 ω_0 = R/L 이다. 이 식에서 알 수 있듯이, 주파수 ω가 ω_0보다 크면 전압 전달률은 1에 가까워지고, 주파수 ω가 ω_0보다 작으면 전압 전달률은 감소한다. 즉, 낮은 주파수의 신호는 차단되고 높은 주파수의 신호는 잘 통과된다.
또한 고역 통과 필터의 주파수 응답은 다음과 같이 표현된다:
G=-10log[1+( {omega _{0}} over {omega } ) ^{2} ]
이 식에서 보듯이, 주파수 ω가 ω_0보다 작은 경우 감쇄량이 크지만 ω가 ω_0보다 크면 감쇄량이 작아진다. 따라서 고역 통과 필터는 높은 주파수 신호는 잘 통과시키고 낮은 주파수 신호는 차단한다.
한편, ω/ω_0 = 1인 지점에서 L에 걸리는 전압의 진폭은 인가 전압의 진폭의 0.707배가 된다. 이 주파수를 실제 필터에서의 cutoff 주파수라고 하며, 전력이 반으로 줄어드는 주파수 지점이 된다. 이 주파수는 f = R/2πL로 계산할 수 있다.
즉, RL 고역 통과 필터는 인덕터의 리액턴스 특성을 이용하여 높은 주파수 신호는 잘 통과시키고 낮은 주파수 신호는 차단하는 역할을 하며, 주파수 응답 특성과 cutoff 주파수를 통해 그 동작 원리를 이해할 수 있다.
1.4. 대역 통과 필터
대역 통과 필터는 일정 주파수 범위의 신호만을 통과시키고 그 외의 주파수 성분은 차단하는 역할을 합니다. 대역 통과 필터는 RLC 병렬 공진 회로를 이용하여 구현할 수 있습니다.
RLC 병렬 공진 회로에서는 특정 주파수 f0에서 LC 병렬 성분의 리액턴스가 상쇄되어 회로 임피던스가 최대가 됩니다. 이때의 주파수 f0를 공진 주파수라 하며, 이 주파수에서 신호 전달이 완전히 차단됩니다. 따라서 공진 주파수 f0를 중심으로 일정 주파수 대역의 신호만을 통과시키는 대역 통과 필터를 구현할 수 있습니다.
대역 통과 필터의 주파수 응답 특성을 살펴보면 다음과 같습니다. 공진 주파수 f0에서 임피던스가 최대가 되어 신호 전달이 완전히 차단됩니다. 그리고 공진 주파수 f0를 중심으로 일정 주파수 대역(대역폭 BW)에서 신호가 통과하게 됩니다. 이때 공진 주파수 f0에서 최대 진폭을 갖고 대역 외 주파수로 갈수록 진폭이 감소하는 특성을 보입니다.
대역 통과 필터의 대역폭 BW는 공진 주파수 f0에서 진폭이 최대치의 70.7% 지점의 두 주...
