본문내용
1. 운동의 기본 개념
1.1. 동역학의 정의와 역사
동역학은 운동중인 물체를 해석하고 다루는 역학의 한 분야이다. 동역학은 그리스 철학자들의 정역학 연구로 시작되었으나, 실질적인 공헌은 갈릴레오에 의해 처음으로 이루어졌다. 갈릴레오의 가속도를 갖는 물체에 대한 실험은 뉴턴이 운동의 기본법칙들을 공식화하는데 크게 기여하였다.
동역학은 운동의 기하학을 연구하는 운동학과 물체에 작용하는 힘, 물체의 질량, 그리고 물체의 운동간에 존재하는 관계를 연구하는 운동역학의 두 분야로 구분된다. 운동학은 운동의 원인은 고려하지 않고 변위, 속도, 가속도, 그리고 시간 사이의 관계를 알고자 할 때 사용되며, 운동역학은 주어진 힘에 의해 일어나는 운동을 예측하거나 또는 임의의 운동을 발생시키기 위하여 필요한 힘을 구할 때 이용된다.
따라서 동역학은 운동하는 물체에 작용할 수 있는 힘과 이와 관련된 운동 특성을 연구하는 학문이라고 할 수 있다.
1.2. 질점의 직선 운동
1.2.1. 위치, 속도, 가속도
질점이 직선을 따라 움직이는 것을 직선운동이라 한다. 질점의 위치를 정의하기 위해서는 직선 상에 한 고정원점 O와 양의 방향을 정한다. O에서 질점 P까지의 거리 x를 측정하고 P가 O에서 직선을 따라 양 또는 음의 방향에 있는가에 따라 양 또는 음의 부호를 결정하여 위치를 기록한다. 적절한 부호를 붙인 거리 x는 질점의 위치를 정의하며, 이를 질점의 위치좌표라 한다. 질점의 위치좌표 x를 시간 t의 모든 값에 대해 알면, 질점의 운동이 알려져 있다고 할 수 있다.
시간 t에서 질점이 좌표가 x인 위치 P에 있는 경우를 생각해 보자. 또한 질점이 시간 t+Δt에서 새로운 위치 P'에 있을 때를 생각해 보자. 위치좌표 P'은 P의 좌표 x에 작은 변위 Δx를 더하여 구할 수 있으며, Δx의 부호는 P'이 P의 오른쪽 또는 왼쪽 중 어디에 위치하는가에 따라 각각 양 또는 음이 된다. 시간간격 Δt 동안에 있어서 질점의 평균속도는 변위 Δx를 시간 간격 Δt로 나눈 비의 값으로 정의된다.
어떤 순간 t에 있어서 질점의 순간속도 v는 평균속도의 시간간격 Δt와 변위 Δx를 미소하게 택함으로써 구할 수 있다. 이를 수식으로 표현하면 v = dx/dt이다.
질점이 시간 t에서 v의 속도를 갖고, 시간 t+Δt에서는 v+Δv의 속도를 갖는 경우, 질점의 평균가속도는 Δv와 Δt의 값으로 정의된다. 순간가속도는 미소 시간간격 동안의 평균가속도로, a = dv/dt 또는 a = d^2x/dt^2로 표현할 수 있다.
이와 같이 질점의 위치, 속도, 가속도는 수학적인 함수 관계로 표현되며, 이를 통해 질점의 운동을 분석할 수 있다.
1.2.2. 운동 유형
운동 유형은 일반적으로 가속도의 특성에 따라 분류할 수 있다"" 첫째, 가속도가 시간의 함수로 주어지는 경우이다. 이는 가속도가 일정하지 않고 시간에 따라 변화하는 경우로, 이때의 운동을 일반적인 직선 운동이라고 한다. 이 경우 속도와 위치는 시간의 함수로 표현되며, 적분을 통해 구할 수 있다.
둘째, 가속도가 위치의 함수로 주어지는 경우이다. 이는 가속도가 물체의 위치에 따라 변화하는 운동을 의미한다. 이러한 운동은 일반적인 직선 운동과는 구분되며, 속도와 위치를 구하기 위해서는 속도-위치 관계식을 이용해야 한다.
셋째, 가속도가 속도의 함수로 주어지는 경우이다. 이는 가속도가 물체의 속도에 따라 변화하는 운동을 의미한다. 이 경우에는 속도-시간 관계식을 이용해 운동을 파악할 수 있다""동역학에서는 일반적으로 직선 운동을 다루며, 가속도에 따른 운동 유형을 구분할 수 있다. 첫 번째 유형은 가속도가 시간의 함수로 주어지는 경우로 일반적인 직선 운동에 해당한다. 이때 속도와 위치는 시간의 함수로 표현된다. 두 번째 유형은 가속도가 위치의 함수로 주어지는 경우이며, 속도-위치 관계식을 이용해 운동을 분석할 수 있다. 세 번째 유형은 가속도가 속도의 함수로 주어지는 경우로, 속도-시간 관계식을 통해 운동을 파악할 수 있다. 이처럼 동역학에서는 가속도의 특성에 따라 다양한 운동 유형을 구분하여 분석할 수 있다""
1.2.3. 등속 직선 운동
등속 직선 운동은 실제 응용에 있어 자주 접하게 되는 직선 운동의 한 형태이다. 이 운동에서 질점의 가속도 a는 t의 모든 값에 대해 0이 된다. 그러므로 속도 v는 일정하며 식 (1.1)은 dx/dt = v = 일정 으로 나타낼 수 있다. 이를 적분하면 x - x0 = vt 의 식을 얻게 된다. 이 식은 질점의 위치가 시간에 따라 일정한 속도로 변화함을 나타낸다. 즉, x = x0 + vt 의 관계가 성립하게 된다.
이와 같이 등속 직선 운동에서 가속도가 0이므로 속도는 일정하고, 위치는 시간에 비례하여 일정하게 변화한다. 따라서 등속 직선 운동은 비교적 단순한 직선 운동의 한 유형이라고 할 수 있다."
1.2.4. 등가속 직선 운동
등가속 직선운동은 실제로 자주 관찰되는 운동 유형 중 하나이다. 이 운동에서 질점의 가속도 a는 시간 t의 모든 값에 대해 일정하다. 따라서 속도 v는 일정하게 변하며, 식 (1.2)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.
dv/dt = a = 일정
이 식을 적분하면 속도 v는 다음과 같이...
