본문내용
1. 최소제곱법의 개념과 필요성
1.1. 최소제곱법의 정의
최소제곱법(最小自乘法 - method of least squares)은 어떤 시스템 내의 방정식을 근사적으로 구하는 방법으로, 구하려는 해와 정해의 오차의 제곱의 합이 최소가 되는 해를 구하는 방법이다. 데이터를 수집함에 있어 어떤 값을 정확하게 측정할 수 없는 경우에 유용하게 사용될 수 있으며, 시스템 내의 방정식이 어떤 형태인지를 알고 있을 때 방정식의 상수 값을 알아낼 수 있다.
1.2. 최소제곱법의 필요성
시공현장에서 높은 정밀도의 기계를 사용하여 측정한다 하더라도 우연오차는 필히 발생하게 되어 있다. 이러한 오차에 대해 보완해주기 위해 조정계산을 수행하는데, 이 때 조정된 측정값과 초기 측정 값은 크고 작은 차이가 발생한다. 이 차이로 인한 문제점을 최소화 시키기 위해 최소제곱법을 사용하는 것이다. 일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며 그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다. 실험을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자. 이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다. 따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야할 작업은 두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다. 상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, "이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라." 라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다. 최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다.
1.3. 최소제곱법의 원리
최소제곱법의 원리는 실험을 통해 얻은 데이터 간의 상관관계를 함수로 표현할 때 사용되는 방법이다. 일반적으로 실험 데이터는 완벽한 규칙성을 가지지 않기 때문에, 이러한 데이터에 대해 상관관계를 나타내는 함수를 찾기 위해서는 오차를 최소화하는 작업이 필요하다.
최소제곱법은 이러한 오차를 최소화하는 방법으로, 측정값과 함수값의 차이인 잔차의 제곱 합이 최소가 되도록 함수의 계수를 결정한다. 즉, 실험 데이터 (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn)가 주어졌을 때, 이들 데이터를 가장 잘 설명할 수 있는 선형 함수 y = ax + b를 찾는 것이다.
이를 위해 잔차의 제곱 합 Σ(yi - (axi + b))^2을 최소화하는 a와 b를 구하는데, 이때 a와 b에 대해 편미분하여 0이 되게 하는 정규방정식을 세워 해를 구한다. 이렇게 구해진 a와 b가 최소제곱법에 의한 선형 함수의 기울기와 y절편이 된다.
최소제곱법은 단순히 실험 데이터의 평균값을 취하는 것보다 훨씬 효과적이며, 상관관계가 불분명한 경우에도 유용하게 사용될 수 있다. 또한 행렬을 활용하면 다수의 데이터와 미지수에 대해서도 효과적으로 계산할 수 있다. 이처럼 최소제곱법은 실험 데이터 분석에서 매우 강력한 도구로 활용되고 있다.
2. 선형회귀와 최소제곱법
2.1. 선형회귀 분석
선형회귀 분석은 변수 간의 선형 관계를 파악하고 이를 바탕으로 데이터를 분석하는 기법이다. 일반적으로 실험을 수행하면 변수 x(독립변수)를 변경하면서 그에 따른 변수 y(종속변수)의 값을 얻게 된다. 이렇게 얻어진 다수의 데이터 쌍 (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn)에서 x와 y 사이에 선형 관계가 성립한다면, 이를 선형 회귀 분석을 통해 수학적인 식으로 표현할 수 있다"".
선형 회귀 분석에...
