본문내용
1. 화학에서의 미적분 활용
1.1. 반응속도와 미적분
화학반응에서 미적분의 개념은 중요하게 활용된다. 화학반응의 속도를 나타내는 반응속도는 일정한 시간 동안 일어난 농도 변화량을 시간으로 나눈 값이다. 이는 미분 개념을 이용하여 표현할 수 있다. 예를 들어 포도당의 분해 반응은 C6H12O6 + 2NAD+ + 2ADP + 2P -> 2피루브산 + 2NADH + 2H+ + 2ATP + 2H2O의 화학식을 갖는다. 이때 반응속도는 k * [C6H12O6]^m * [NAD]^n * [NAD]^l * [ADP]^p * [P]^q로 나타내며, 반응물의 농도에 비례한다. 화학반응은 속도에 영향을 주는 변수의 개수에 따라 0차, 1차, 2차 반응으로 구분된다. 0차 반응의 경우 반응속도가 상수이며, Rate = dA/dt = -K로 표현된다. 이를 적분하면 A = A0 - Kt로 나타낼 수 있다. 1차 반응의 경우 Rate = dA/dt = -k[A]이며, 적분하면 ln[A] = ln[A0] - Kt가 된다. 2차 반응의 경우 Rate = dA/dt = -k[A]^2이며, 적분하면 1/[A] = Kt + 1/[A0]가 된다. 이처럼 화학반응에서의 속도는 미분과 적분 개념을 활용하여 설명할 수 있다.
1.2. 개체군의 성장곡선
개체군이란 특정 시기에 주어진 지역에서 서로 상호작용하는 한 종의 개체들로 구성된 단체이다. 개체군의 개체수 증가 곡선을 나타낸 것이 개체군의 성장곡선이다. 자연 상태에서 개체군의 크기는 출산과 사망, 종 내 상호작용 등에 의해 변화한다. 출산율이 사망률보다 크면 개체군의 크기가 증가하고, 반대인 경우 개체군의 크기가 감소하게 된다.
개체군의 성장은 지수 성장곡선과 로지스틱 성장곡선 두 가지 모델로 나타낼 수 있다. 지수 성장곡선은 특정 개체군에게 알맞은 먹이, 서식 환경 등이 제한이 없고 다른 종과의 상호작용, 환경 수용력 등에 영향을 받지 않는 이상적인 경우 적용된다. 이 경우 개체수는 기하급수적으로 증가하는 J자형 곡선을 그리게 된다. 개체군의 증가율(r)은 (개체수의 변화량)/(개체수)가 되며, 이때 개체수는 Nt = N0e^(rt)을 만족한다.
반면 로지스틱 성장곡선은 서식지의 공간제약과 먹이 양 등의 영향을 받게 된다. 자원이 제한되어 먹이 경쟁, 서식지 경쟁 등에 의해 개체군이 기하급수적으로 계속 증가할 수 없게 된다. 따라서 개체수 증가율은 개체수가 증가함에 따라 감소하는 경향을 나타낸다. 이때 환경수용력 K에 도달하면 더 이상 개체수가 증가하지 않는다. 이 경우 미분방정식 (dN/dt)/N = r-r * N/K를 만족하게 되며, 이를 정리하면 Nt = K/(1+C * e^(-rt))로 표현된다. 여기서 C는 (K – No)/N0로 주어진다.
이처럼 개체군의 성장 과정은 지수 함수와 로지스틱 함수로 나타낼 수 있다. 지수 성장곡선은 제한 요인이 없는 이상적인 상황에서의 성장을, 로지스틱 성장곡선은 실제 환경의 제한 요인이 작용하는 상황에서의 성장을 모델링한다. 이러한 성장곡선은 인구 성장에도 적용할 수 있는 등 개체군 성장에 미적분이 필수적으로 사용된다.
1.3. 감염병 모델링과 미적분
현재 전 세계는 COVID-19라는 감염병에 의해 힘든 나날을 보내고 있다. COVID-19 이전에도 에볼라, 메르스, 사스, 탄저병, 페스트 등 다양한 감염병에 의해 전세계가 고통을 받았다. 특히 페스트의 경우 4000만명, 스페인 독감의 경우 2100만명이 사망할 정도로 감염병은 전 세계적으로 큰 문제이다. 페스트는 14세기에 발병하였는데, 비공식적으로는 1억명 이상이 사망하였을 것이라는 추정도 있다. 현재에는 COVID-19에 의한 사망자는 약 420만명, 감염자는 약 2억명에 육박하고 있다.
이러한 감염병의 추세를 예측할 수 있는 모델이 SIR 모델이다. SIR 모델은 S(Susceptible, 감염에 취약한 인구), I(Infective, 전염성이 있는 감염된 인구), R(Removed, 회복되어 면역이 생겼거나 사망하여 감염되지 않는 인구)로 구성된...
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