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1. 서 론
1.1. 복소수의 개념 및 역사
복소수는 실수가 아닌 수를 의미하며, 제곱하여 -1이 되는 수를 허수 단위라 하고 이를 i로 칭한다. 영어로는 imaginary number로 불리며, a+bi의 꼴일 때 b가 0이 아니면 이를 허수라고 부른다. 여기서 a는 real Z라 불리며 실수부분을 나타내고, b는 imaginary Z로 불리며 허수부분을 나타낸다.
허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 카르다노는 "두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라."라는 문제를 풀기 위해 노력하다가 결국 √(-1)이라는 근을 구해냄으로써 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다. 당시 수학자들은 이 문제에 대해 "근이 없다.", "풀 수 없다."라고 답했지만, 카르다노는 이를 해결해냈다.
1.2. 복소평면에 대한 소개
실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지는데, 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면, 가우스평면이라 부른다.
복소수 범위 말고 실수의 범위에서 먼저 생각해보면, 오일러는 1에다가 -1을 곱하면 -1이 되므로 반대방향이 되어 180도 회전을 하게 된다고 생각했다. 오일러는 카르다노의 영향을 받아 i에 대해서도 생각했는데, i는 i^2 = -1이라는 것을 알고 있었기 때문에 '1에다가 i를 두 번 곱하면 180도 회전을 하게 된다.'라고 생각했다.
결국 i를 한 번 곱하면 90도 위치, 두 번 곱하면(-1) 180도 위치, 3번 곱하면 (-i) 270도 위치, 네 번 곱하면 360도 위치가 된다. 이때 e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)라는 수식이 만들어진다. 이를 오일러 공식이라고 한다.
복소평면에 한 점을 찍고 원점과 x축에 그으면 삼각형이 만들어지는데, 빗변을 r이라 두고 계산하면 밑변은 cos(theta)가 되고 높이는 sin(theta)가 된다. 그렇다면 그 점의 좌표는 (r*cos(theta), r*sin(theta))가 되는데, x값은 실수, y값은 허수이기 때문에 복소수로 나타내면 r*(cos(theta) + i*sin(theta))가 된다. 이것이 바로 오일러 공식이다.
2. 복소수와 복소평면
2.1. 복소수의 표현과 연산
복소수는 실수와 허수로 구성되며, 일반적으로 a + bi의 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 a는 실수부, b는 허수부를 의미한다. 허수 i는 정의상 i^2 = -1을 만족하는 수이다.
복소수의 연산은 실수 연산과 유사하지만 약간의 차이가 있다. 복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더하는 것으로, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i가 성립한다. 복소수의 뺄셈도 덧셈과 마찬가지로 실수부와 허수부를 각각 빼는 것으로 계산한다.
복소수의 곱셈은 분배법칙을 적용하여 (a + bi)(c + di) ...
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