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1. 복소수와 복소평면
1.1. 허수의 개념과 특징
허수는 실수가 아닌 복소수를 의미하는데, 제곱하여 -1이 되는 수를 허수 단위라고 하며 이를 로 칭한다. 영어로는 imaginary number로 불리며, a+bi의 꼴일 때 b가 0이 아니면 이를 허수라고 부른다. 여기서 a는 real Z라 불리며 실수 부분을 나타내고, b는 imaginary Z로 불리며 허수 부분을 나타낸다.
1.2. 허수의 발견과 역사적 배경
허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 카르다노가 『큰 기술』을 저술하던 도중 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 풀게 된다. 이를 수식으로 나타내면 x^2 + 10x + 40 = 0이다. 당시 수학자들은 이 문제에 대해 '근이 없다.', '풀 수 없다.'라고 답했지만, 카르다노는 이 문제를 풀기 위해 노력했고, 결국 x = 3 + √(-1)이라는 근을 구했다. 이로써 카르다노는 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다. 이후 허수라 불리는 복소수의 개념이 발전하게 되었다.
1.3. 복소평면에서의 복소수 표현
실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지는데, 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면, 가우스평면이라 부른다.
복소수 a+bi에서 a는 실수부분이고 b는 허수부분이다. 복소평면 상에서 이 복소수는 좌표 (a, b)로 나타낼 수 있다. 실수 a는 x축 위의 점을 나타내고, 허수 b는 y축 위의 점을 나타낸다. 따라서 복소평면에서 복소수는 평면상의 한 점으로 표현된다.
복소수에 허수단위 i를 곱하면 그 복소수는 복소평면상에서 90도 회전한다. 이는 i가 정의상 제곱하면 -1이 되기 때문이다. 따라서 복소수 a+bi에 i를 곱하면 -b+ai가 되어 복소평면 상에서 90도 회전한 점이 된다. 복소수에 i를 여러 번 곱하면 그에 따라 복소평면 상에서 더 큰 각도로 회전하게 된다.
이와 같이 복소평면은 복소수를 직관적으로 표현할 수 있는 공간이다. 복소수의 실수부와 허수부가 각각 x축과 y축으로 대응되어 복소수의 크기와 방향을 한눈에 파악할 수 있다. 또한 복소수의 연산이나 성질을 복소평면 상에서 기하학적으로 해석할 수 있어 복소수 개념의 이해를 돕는다.
1.4. 복소평면과 오일러 공식의 이해
복소수는 실수와 허수로 이루어진 수로, 실수축 x와 허수축 y로 구성된 복소평면에 나타낼 수 있다. 실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 복소평면에 나타낼 수 있는데, 이때 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어진다. 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면 혹은 가우스평면이라 부른다.
복소수 범위에서 오일러는 1에다가 -1을 곱하면 -1이 되므로 180도 회전을 하게 된다는 것을 알고 있었다. 그리고 를 한 번 곱하면 90도 회전한다는 것을 발견하였다. 따라서 를 한 번 곱하면 90도 위치, 두 번 곱하면 180도 위치, 3번 곱하면 270도 위치, 네 번 곱하면 360도 위치가 된다. 이때 이라는 수식이 만들어진다.
복소평면에 한 점을 찍고 원점과 x축에 그으면 삼각형이 만들어지는데, 빗변을 r이라 두고 계산하면 밑변은 cos θ가 되고 높이는 sin θ가 된다. 그렇다면 그 점의 좌표는 (cos θ, sin θ)가 되는데, x값은 실수, y값은 허수이기 때문에 복소수로 나타내면 cos θ + i sin θ가 되고 r로 묶으면 reiθ라는 오일러 공식이 나온다.
이렇듯 오일러 공식은 복소평면에서 등속 원운동하는 물체의 위치 방정식을 표현할 수 있다. 즉, 시간에 따른 등속 원운동의 실제 모형을 2차원적인 x-y 좌표로 표현할 수 없기 때문에 복소평면으로 원운동을 정의하고, 또 다른 시간축을 하나 더 만들어 3차원 방정식으로 표현할 수 있다.
이처럼 오일러 공식은 복소평면에서 등속 원운동하는 물체의 위치(또는 에너지의 운동) 방정식이며, 전기공학에서 특히 주파수 영역의 신호 처리와 전력 시스템 분석, 제어 시스템 디자인 등에 필수적으로 사용된다. 교류 회로에서의 전압과 전류는 시간에 따라 사인파나 코사인파로 변화하는데, 이러한 사인파나 코사인파 함수는 오일러 공식을 이용해서 복소지수 형태로 변환될 수 있다. 이를 통해 복잡한 계산을 간단하게 만들 수 있다. 또한 제어 이론에서도 오일러 공식은 중요한 역할을 하는데, 제어 시스템의 안정성을 분석하는데 사용되는 루트 로커스 방법 등에서 오일러 공식이 사용된다. 그 밖에도 전기를 만들어내는 과정에서 회전하는 코일에 의해 순간적으로 유도되는 전류가 어떻게 바뀌어 나가는지를 나타내는 데에도 오일러 공식이 활용된다.
따라서 복소평면과 오일러 공식은 단순히 수학적 개념을 넘어서, 전기공학을 비롯한 다양한 공학 분야에서 중요한 역할을 하고 있다고 볼 수 있다.
2. 복소수의 활용과 ...
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