복소평면

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최초 생성일 2025.06.10
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"복소평면"에 대한 내용입니다.

목차

1. 허수의 특징과 유래
1.1. 허수의 개념
1.2. 허수의 발견과 역사
1.3. 복소수와 복소평면

2. 복소수와 복소평면
2.1. 복소수의 표현
2.2. 복소평면에서의 복소수
2.3. 오일러 공식과 복소수의 회전

3. 복소수의 활용
3.1. 교류 회로에서의 임피던스와 전류
3.2. 주파수 영역의 신호처리와 제어
3.3. 전기 에너지 생성과 변환

4. 참고 문헌

본문내용

1. 허수의 특징과 유래
1.1. 허수의 개념

허수의 개념은 실수가 아닌 복소수를 의미한다. 허수 단위는 제곱하여 -1이 되는 수로, 영어로는 imaginary number로 불린다. 복소수는 a+bi의 형태를 가지며, a는 real Z라 불리는 실수부분을, b는 imaginary Z라 불리는 허수부분을 나타낸다.

허수를 처음 발견한 사람은 이탈리아 수학자 카르다노이다. 그는 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 해결하는 과정에서 근이 음수라는 결과를 도출하였다. 이는 당시 수학자들이 음수의 제곱근을 인정하지 않았기 때문에 풀 수 없다고 판단했던 문제였다. 하지만 카르다노는 이를 해결해 냄으로써 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다.


1.2. 허수의 발견과 역사

허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 카르다노는 을 저술하던 도중 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 풀게 되었다. 이를 수식으로 나타내면 이다. 당시 수학자들은 '근이 없다.', '풀 수 없다.'라고 답했지만, 카르다노는 이 문제를 풀기 위해 노력했고, 라는 근을 구했다. 결국 그는 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다.


1.3. 복소수와 복소평면

실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지는데, 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면, 가우스평면이라 부른다. 실수의 범위에서 생각했을 때, 오일러는 1에다가 -1을 곱하면 -1이 되므로 (반대방향이 되므로) 180도 회전을 하게 된다고 생각했다. 또한 오일러는 카르다노의 영향을 받아 i에 대해서도 생각했는데, i^2 = -1이라는 것을 알고 있었기 때문에 '1에다가 i를 두 번 곱하면 180도 회전을 하게 된다.'라고 생각했다. 따라서 i를 한 번 곱하면 90도 위치, 두 번 곱하면(-1) 180도 위치, 3번 곱하면 (-) 270도 위치, 네 번 곱하면 360도 위치가 된다. 이때 e^(i*θ)라는 수식이 만들어진다. 오일러는 또한 복소수에 관한 공식인 오일러 공식을 만들어냈는데, 복소평면에 한 점을 찍고 원점과 x축...


참고 자료

ebs 다큐 넘버스 5부 : 천공의 수 , 허수
Edujin 이지민, 가짜 수 ‘허수’의 등장
Youtube [전선생] 수(상) 4. 복소수 – 복소평면과 복소수의 회전

파인만의 물리학 강의 Volume 2 (저자:리처드파인만)

태그

#허수 #복소수 #복소평면 #오일러 공식 #삼각함수 #지수함수 #전기공학 #신호처리 #제어시스템 #전력시스템

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