본문내용
1. 물리진자 실험
1.1. 실험 목적
물리진자 실험의 목적은 진동하는 물리진자의 운동을 관찰하여 진자의 주기를 구하고 이를 이론값과 비교하는 것이다. 이를 통해 물리진자 운동을 선형의 단순조화운동으로 근사할 수 있는 조건과 비선형 효과를 고려해야 할 경우를 알아보고 단진자와 물리진자의 차이점을 고찰하고자 한다.
물리진자의 존재는 길이가 l이고 질량이 m인 줄에 매달려 있는 원운동하는 진자로 정의할 수 있다. 진자를 매단 줄이 지면에 대한 수직선과 θ 의 각도를 이룰 때 중력에 의해 진자에는 mg cos θ 만큼의 수직 방향 힘과 mg sin θ 만큼의 접선 방향 힘이 작용한다. 수직 방향 힘은 줄의 장력에 의해 상쇄되고, 접선 방향 힘이 복원력 역할을 하여 운동 방정식을 유도할 수 있다.
만약 θ가 충분히 작다면 sin θ ≈ θ로 근사할 수 있어 단순조화운동 방정식이 성립한다. 이때 진자의 주기 T는 T = 2π√(l/g)로 표현된다. 그러나 진자의 크기를 무시할 수 없을 때 관성 모멘트를 고려한 물리진자의 주기 식은 T = 2π√(1/g(1 + 2/5(R/l)²))로 도출된다. 여기서 R은 진자의 반경이다. 실험에서는 이러한 이론적 배경을 바탕으로 회전축의 위치, 질량, 각도 변화에 따른 물리진자의 주기를 측정하고 분석한다.
실험 준비에는 저울, 버니어캘리퍼스, 자, 물리 진자장치 스탠드, 컴퓨터, 카메라, 스크린 등이 사용된다. 실험 과정은 진자의 질량, 직경, 길이 측정, I-CA 시스템 설정, 진자 운동 촬영, 분석 및 주기 측정 등으로 이루어진다. 측정 결과, 회전축이 질량중심에서 멀어질수록 주기가 길어지고 질량이 증가할수록 주기가 길어지는 경향을 확인할 수 있었다. 또한 각도가 증가할수록 단순조화운동 가정이 부적절해져 오차가 커지는 것을 알 수 있었다.
이를 통해 진자의 질량 및 크기가 클수록 단진자 근사가 가능하고, 각도가 작을수록 오차가 감소한다는 사실을 파악할 수 있다. 현실 세계에서는 공기 저항, 열 손실 등의 요인으로 인해 이상적인 진동 운동을 관찰하기 어려우므로 이러한 영향을 최소화하기 위해 실험 조건을 최적화해야 한다.
1.2. 실험 이론
1.2.1. 단진자 운동
단진자는 늘어나지 않는 줄에 매달린 질점으로 구성된 이상화된 계이다. 평형점에서 한쪽으로 당겨졌다가 놓으면 중력의 영향으로 수직 평면상에서 추가 왔다 갔다 하는 주기적인 진동운동을 한다. 단진자의 운동방정식은 다음과 같다.
mg sin θ = m d²s/dt²
여기서 s는 호를 따라 특정된 변위이고, 음의 부호는 힘이 평행위치를 향해 작용함을 나타낸다. 만약 θ가 작다고 가정하면 sin θ ≈ θ의 근사를 할 수 있고, 이때 운동방정식은 다음과 같다.
d²θ/dt² = -(g/L)θ
이는 단조화운동에 관한 식이며, 해는 다음과 같다.
θ = θ₀ cos(ωt + δ)
여기서 θ₀는 최대각변위이고, 각 진동수 ω는 √(g/L)로 주어진다. 따라서 단진자의 주기는 다음과 같이 계산된다.
T = 2π/ω = 2π√(L/g)
즉, 단진자의 주기는 중력 가속도 g와 줄의 길이 L에 의해 결정되며, 질량 m에 의해 영향을 받지 않는다. 이를 통해 단진자 운동이 선형의 단순조화운동으로 근사할 수 있음을 알 수 있다.
1.2.2. 물리진자 운동
물리진자는 질량중심을 지나지 않는 고정축에 매달린 임의의 강체이다. 평형위치로부터 움직일 때 그 계는 진동한다. 질량중심으로부터 거리 d인 점 O에 매달려 있는 강체를 가정하면, 점 O에 대한 토크는 중력에 의해 만들어지며 크기는 mgdsinθ이다. O를 지나는 축에 대한 관성모멘트 I와 식 τ=Iα를 사용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
-mgdsinθ=I{d^2θ/dt^2}
θ가 작다고 가정하면 근사식 sinθ≈θ를 사용할 수 있다. 그때의 운동방정식은 다음과 같다.
{d^2s/dt^2}=-(mgd/I)θ=-ω^2θ
이 식의 해는 θ=θ0cos(ωt+δ)이며, θ0는 최대각변위이고 각 진동수 ω는 √(mgd/I)이다. 주기는 다음과 같이 표현된다.
T=2π/ω=2π√(I/mgd)
이 식은 진자의 크기와 진폭(각도)이 고려되지 않은 주기를 나타낸다. 진폭을 고려하여 보정한 식은 다음과 같다.
T=2π√(L/g)[1+(2/5)(R/L)^2](1+θ^2/16)
여기서 L은 진자의 길이, R은 진자의 반경, θ는 최대 진동각이다. 이 식에서 알 수 있듯이, 진자의 크기와 진폭이 클수록 주기에 영향을 미치게 된다.
또한 진자의 길이가 짧을수록 주기가 짧아지는 것을 알 수 있다. 이는 진자의 이동거리가 짧아져 관성력이 작아지기 때문이다.
한편, 진폭이 커질수록 오차가 증가하는데, 이는 이론에서 θ가 충분히 작을 때 sinθ를 θ로 근사하여 사용한다는 조건이 만족되지 않기 때문이다. 따라서 진폭(각도)이 커질수록 이 근사가 적절하지 않아 오차가 발생하게 된다.
1.3. 실험 과정
1.3.1. 실험 준비
전자저울을 이용하여 진자의 질량을 측정하고 버니어캘리퍼스를 이용하여 진자의 직경을 측정한다. 자를 이용하여 진자의 길이를 측정한다. I-CA를 실행시키고 카메라 설정에서 스탠드가 카메라의 중심에 위치해 있는지 확인하여 필요하다면 카메라의 위치를 조정한다. 카메라 분석의 화면 캡쳐에서 파일 이름을 지정하고 저장한다. 진자를 적당한 각도로 진동시킨 뒤 진자가 약 3~5회 진동하면 중지 버튼을 누른다. 카메라 분석의 분석에서 저장한 파일을 불러오고 분석할 프레임을 지정한다. 진자를 클릭하여 분석할 피사체를 지정하고 분석을 시작한다. 분석 결과의 x,y 좌표를 이용하여 T-X 그래프를 그리고 주기를 구한다. 각도 구하기 기능을 이용하여 진자가 이루는 각도를 측정한다. 위 과정을 진자의 길이를 바꿔가며 3차례 반복한다.
1.3.2. 실험 진행
I-CA를 실행시키고 카메라 분석의 카메라 설정 버튼을 눌렀다. 이때, 진자가 달린 스탠드가 카메라의 위치에서 약간 오른쪽으로 벗어나 있었다. 본래는 카메라가 달린 스탠드의 나사를 이용하여 위치를 조절해야 했으나 간편하게 진자가 달린 스탠드를 왼쪽으로 옮겼다. 파일을 저장한 뒤 캡쳐 버튼을 눌렀고 진자를 운동시켰다. 이때, 진자의 운동 방향과 카메라가 촬영하는 방향이 수직을 이루어야 했다. 진자의 운동 방향이 어긋날 경우 오차가 발생하기 때문이다. 카메라 분석의 분석에 들어가 시작 프레임과 마지막 프레임을 설정했다. 시작 프레임은 진자가 한 번 진동하고 시작점에 다시 돌아온 시점으로 지정하였다. 만약 한 번도 진동하지 않은 시작점을 시작 프레임으로 지정하였다면 진자를 잡고 있는 손가락에 의해 색상인식에 오류가 생길수 있기 때문이었다. 마지막 프레임은 진자가 약 3회 진동한 시점으로 지정하였다. 진자를 클릭하여 분석 버튼을 누른 결과로 도출된 x,y 값으로 T-X 그래프를 그릴 수 있었다. 이웃한 골의 x값의 차가 주기(s)이다....
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