본문내용
1. 항공공학 제어실험
1.1. 실험제목 - 구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계
구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계
이 실험은 기준 구슬의 위치에 따라 트랙 위의 구슬의 위치를 제어하는 것이다. 이를 위해 서보의 각도를 제어하여 서보와 연결된 트랙을 기울여서 구슬의 위치를 제어해야 한다. 실험하기 전 수학적 모델링을 통해 직접 시뮬레이션을 수행하고, 실험 데이터와 시뮬레이션을 비교하여 제어기의 타당성을 검증한다.
관련 이론으로는 먼저 라플라스 변환(Laplace transformation)을 들 수 있다. 라플라스 변환은 미분방정식을 상대적으로 쉽게 풀 수 있는 대수방정식으로 변환해준다. 정상상태(steady-state)는 시간이 지남에 따라 시스템 출력이 일정한 값에 도달하는 상태를 의미한다. 전달함수(Transfer function)는 시스템의 입출력 관계를 나타내는 함수로, 초기조건이 0일 때 출력과 입력의 비로 정의된다.
Root locus는 시스템의 매개변수 변화에 따른 특성방정식의 근의 궤적을 나타낸 것이다. 이를 통해 시스템의 안정성 및 동특성을 분석할 수 있다. 구슬의 운동 시스템의 수학적 모델은 뉴턴의 운동방정식을 이용하여 구하며, 선형화 과정을 거쳐 라플라스 변환을 적용할 수 있다.
PID 제어기(비례-적분-미분 제어기)는 오차, 오차의 적분, 오차의 미분에 비례하여 제어 입력을 생성한다. 비례항은 현재 오차에 비례하여 작용하고, 적분항은 정상상태 오차를 제거하며, 미분항은 오버슈트를 줄이고 안정성을 향상시킨다. PID 제어기는 PI, PD 제어기의 병렬 구조로 볼 수 있다.
적분 누적 및 적분 누적 방지법은 제어기 출력이 구동기 포화 영역에 있을 때 적분기의 누적을 막기 위한 기법이다. 이를 통해 적분 누적으로 인한 불안정성을 방지할 수 있다.
실험장치는 기준 구슬 위치 설정 장치, 구슬과 빔 실험 모듈, 서보 플랜트로 구성된다. 구슬과 빔 모듈에서 구슬의 위치는 니크롬선 전압으로 측정할 수 있고, 서보가 트랙을 기울여 구슬의 위치를 제어한다.
실험방법은 다음과 같다. 첫째, 수학적 모델을 이용해 제어기를 설계한다. 둘째, Matlab Simulink를 활용하여 제어기 블록을 구성한다. 셋째, 구슬과 빔 위치제어 모듈을 고정하고 입력신호에 대한 보정식을 세운다. 넷째, PD 제어기의 게인값을 조절하여 요구사항을 만족시킨다. 다섯째, 실험에 사용할 구슬과 빔의 매개변수를 확인한다.
실험내용에는 실험참고사항과 제어기 모델 Simulink가 포함된다. 실험참고사항에는 제어기 설계 목적, 요구사항, 제어기 배치, 제어기 형태 등이 제시되어 있다. 제어기 모델 Simulink에서는 PD 제어기를 구성하고 게인값을 조절하는 과정이 다루어진다.
이를 통해 학습할 수 있는 성과는 수학, 기초과학, 공학의 지식과 정보기술을 공학문제 해결에 응용할 수 있는 능력, 데이터 분석 및 실험을 통한 가설 확인 능력, 공학문제의 정의 및 공식화 능력, 현실적 제한조건을 고려한 시스템 설계 능력 등이다.
1.2. 실험목적
구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계 실험의 목적은 다음과 같다"
1) 구슬의 위치 제어를 위한 PID 제어기 설계 실험은 기준 구슬의 위치에 따라 트랙 위의 구슬의 위치를 제어하는 것이다.
2) 이를 위해 서보의 각도를 제어하여 서보와 연결된 트랙을 기울여서 구슬의 위치를 제어해야 한다.
3) 실험하기 전 수학적 모델링을 통해 직접 시뮬레이션을 수행하여 제어기의 타당성을 검증한다.
4) 실험 데이터와 시뮬레이션을 비교하여 제어기의 적절성을 확인한다.
1.3. 관련이론
1.3.1. 라플라스 변환(Laplace transformation)
이 과정에서 필요한 것이 바로 전달함수이다. 물리적 시스템의 선형 근사값을 얻기 위한 방법은 Laplace 변환을 사용하는 것이다. Laplace 변환 방법은 좀 더 어려운 미분방정식을 상대적으로 쉽게 풀린 대수방정식들로 바꿔준다. 시간의 함수에 대한 Laplace 변환은 다음과 같다.
F(s)= int _{0 ^{-}} ^{INF } {f(t)e ^{-st} dt=L{f(t)}}
Inverse Laplace 변환은 다음과 같다.
f(t)= {1} over {2 pi j} int _{sigma -j INF } ^{sigma +j INF } {F(s)e ^{+st} ds}
기본적인 Laplace 변환식은 다음과 같은 것들이 있다.
f(t)F(s)
Step function, u(t){1} over {s}
e ^{-at}{1} over {s+a}
f ^{(k)} (t)= {d ^{k} f(t)} over {dt ^{k}}s ^{k} F(s)-s ^{k-1} f(0 ^{-} )-s ^{k-2} f`'(0 ^{-} )-...-f ^{(k-1)} (0 ^{-} )
int _{-INF } ^{t} {f(t)dt}{F(s)} over {s} + {1} over {s} int _{- INF } ^{0} {f(t)dt}
Laplace 변환을 통해 물리적 시스템을 보다 쉽게 해석할 수 있다. Laplace 변환은 시간 영역에서의 미분방정식을 s-영역의 대수방정식으로 변환시켜줌으로써 시스템의 동적 특성을 보다 쉽게 파악할 수 있다. 특히 전달함수를 구하는 데 있어 Laplace 변환이 매우 유용하게 사용된다.
1.3.2. 정상상태(steady-state)
정상상태(steady-state)는 시간에 따라 변화하지 않는 상태를 의미한다. 시스템이 정상상태에 도달하면 시간이 지나도 시스템의 출력이나 특성은 변화하지 않는다.
라플라스 변환을 이용하여 시스템의 정상상태 응답을 구할 수 있다. 라플라스 역변환 식을 이용하면 y(t)의 응답에 대한 정상상태를 다음과 같이 정의할 수 있다:
lim_{t->∞} y(t) = lim_{s->0} sY(s)
여기서 Y(s)는 출력 변수의 라플라스 변환이다. 이를 "final value theorem"이라고 한다.
예를 들어 다음과 같은 응답 함수 y(t)가 있다고 하자.
y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t)
이 경우 정상상태 응답은 다음과 같다:
lim_{t->∞} y(t) = lim_{s->0} sY(s) = lim_{s->0} s * {2/(s+1) - 1/(s+2)} = 0
즉, 이 시스템의 정상상태 응답은 0이 된다. 이처럼 final value theorem을 이용하면 시간이 충분히 지났을 때의 정상상태 응답을 쉽게 구할 수 있다.
정상상태에 도달하기 위해서는 시간이 충분히 지나야 하며, 과도응답(transient response)이 사라져야 한다. 정상상태에서는 시스템의 출력이나 특성이 더 이상 변화하지 않는다는 특징이 있다.
1.3.3. 전달함수(Transfer function)
제어시스템의 동적 운동을 분석하기 위해서는 그 시스템을 수학적으로 모델링화 할 필요가 있다. 선형 시스템의 전달함수는 출력변수의 라플라스 변환과 입력변수의 라플라스 변환의 비로 정의된다. 모든 초기조건은 0이라고 가정된다. 시스템의 전달함수는 시스템의 동역학을 묘사하는 관계를 나타낸다. 전달함수는 선형적,정적 시스템에서만 정의된다. 정적이 아닌 시스템은 주로 시간에 따라 변하는 시스템이라고 불리고 한 개 아니면 그 이상의 시간에 따라 변하는 매개변수가 있고 라플라스 변환은 사용될 수 없다. 게다가 전달함수는 시스템 행동의 입출력을 묘사하는 것이다. 그래서 전달함수는 시스템의 내부 구조에 관한 정보는 포함하지 않는다. 초기조건이 모두 0인 상태에서 스프링-질량-뎀퍼 시스템의 전달함수는 다음과 같다.
Ms^2 Y(s)+bsY(s)+kY(s)=R(s)
{Output} over {Input} =G(s)= {Y(s)} over {R(s)} = {1} over {Ms^2 +bs+k}
이처럼 전달함수는 시스템의 동적 특성을 나타내는 중요한 수학적 모델이다. 이를 통해 시스템의 입출력 관계 및 안정성, 과도응답 특성 등을 분석할 수 있다.
1.3.4. Root locus
폐쇄 루프 제어 시스템의 동적 성능은 폐쇄 루프 전달함수로 표현된다. 이때 전달함수의 분모인 특성방정식 q(s)의 근은 그 시스템의 응답 모드를 결정한다. 간단한 단일 루프 시스템의 경우 특성방정식은 다음과 같다.
1+KG(s)=0
여기서 K는 매개변수이고 0 ≤ K < ∞ 이다. 시스템의 특성 근은 이 특성방정식을 만족해야 하며, 이 근들은 s-평면에 놓인다. s가 복소수 변수이기 때문에 특성방정식은 다음과 같이 극좌표 형태로 쓸 수 있다.
|G(s)| ANGLE KG(s)=-1+j0
따라서 |G(s)|≥1 이어야 하고 ANGLE KG(s)=180° +k360° 이며, k=0,±1,±2,±3,...이다.
root locus는 시스템의 매개변수가 0에서 무한대로 변할 때 s-평면에서 윤곽을 따라 그려지는 특성방정식의 근들의 경로이다. 이러한 근 궤적도는 MATLAB의 rlocus 함수를 이용함으로써 손쉽게 얻을 수 있다.
root locus 방법을 통해 제어기의 매개변수 변화에 따른 시스템의 안정성을 분석할 수 있다. root locus 선도에서 모든 근이 왼쪽 반평면(좌반면)에 위치한다면 시스템은 안정하다고 볼 수 있다. 반면 일부 근이 오른쪽 반평면(우반면)에 위치한다면 시스템은 불안정하다고 할 수 있다.
따라서 root locus 분석은 시스템의 폐루프 특성을 파악하고 제어기 설계 시 매우 유용한 도구라고 할 수 있다.
1.3.5. 구슬의 운동 시스템의 수학적 모델
시스템을 해석하고 제어기를 설계하기 위해서는 시스템을 쉽게 해석할 수 있도록 수학적 모델링이 필요하다. 시스템의 수학적 모델링을 하기 위해서는 미분방적식을 이용하여 할 수 있고, 이번 실험에서는 구슬,빔으로 된 시스템의 미분방정식을 구해야한다.
구슬, 빔의 수학적 모델링 과정은 다음과 같다. 뉴턴의 운동방정식 F=m vec{a}를 이용하여 구르는 구슬의 운동을 모델링하면 ddot{x} =-gsin alpha 인 운동방정식으로 나타낼 수 있다. 각도 alpha 가 매우 작다고 가정하면 sin alpha APPR...
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