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1. 항온도계의 과도응답 실험
1.1. 실험 목적
항온도계의 과도응답을 실험적으로 구하고 이를 통해 전달함수를 구하여 온도계의 동적 특성을 이해하는 것이 이 실험의 목적이다.
온도계의 과도응답 특성을 분석하여 온도계의 전달함수를 구함으로써 온도계의 동적 거동을 파악할 수 있다. 이를 통해 온도계의 설계 및 온도제어시스템 개발에 필요한 기본적인 정보를 얻을 수 있다.
1.2. 실험 기기 및 시약
실험 기기 및 시약은 다음과 같다.""
실험에 사용되는 주요 기기로는 저항온도계 및 기록계, 항온조, 수은 온도계, 10L 용기 등이 포함된다. 저항온도계는 온도에 따른 저항 변화를 이용하여 온도를 측정하는 온도계이며, 기록계는 온도 변화를 기록한다. 항온조는 일정한 온도를 유지할 수 있는 장치이다. 또한 실험에는 수은 온도계를 사용하여 온도를 측정한다. 실험을 위한 주된 실험 용기로는 10L 용기가 사용된다.""
1.3. 이론
1.3.1. 온도계의 비정상상태 거동
수은을 유리대롱에 넣어서 만든 온도계의 비정상상태거동을 고려하여, 1차계의 전달함수를 구해볼 수 있다. 온도 x가 시간에 따라 변하는 유체의 흐름 속에 온도계를 넣었다고 생각할 수 있다. 우리의 과제는 x의 특정한 변화에 대하여 온도계의 눈금 y가 시간에 따라서 어떻게 변화하는가, 즉 y의 응답을 구하는 것이다. 이 해석과정에서는 다음과 같은 가정들을 도입한다.
첫째, 모든 열전달 저항은 유리대롱을 둘러싼 막에 집중되어 있다. 즉, 유리벽과 수은에 의한 저항은 무시한다.
둘째, 모든 열용량은 수은에 존재한다. 더 나아가서 온도계 안의 수은온도는 언제나 균일하다.
셋째, 수은을 담고 있는 유리벽은 과도응답의 과정에서 팽창하거나 수축하지 않는다. 실제로 온도계에서는 그 벽의 팽창 때문에 온도계눈금의 응답이 달라지게 된다.
온도계는 초기에 정상상태에 있다고 가정한다. 이것은 시간 t=0이전에는 시간에 따라 온도가 변하지 않는다는 것을 의미한다. 시간 t=0에서 온도계 주위의 온도 x(t)가 어떤 변화를 보이기 시작한다고 생각할 수 있다.
온도계에 대하여 아래와 같은 비정상상태 에너지 수지를 적용하면 Input rate - output rate = rate of accumulation 다음의 식을 얻을 수 있다.
hA(x-y) - 0 = mC(dy/dt)
여기서, A = 열전달을 위한 유리대롱의 표면적, ft2
C = 수은의 열용량, Btu/(lbm)(℉)
m = 유리대롱 안에 있는 수은의 질량, lbm
t = 시간, hr
h = 열전달계수, Btu/(hr)(ft2)(℉)
이 식은 유리대롱 주위의 막저항을 통하여 열이 흐르는 속도는 그로 인하여 수은의 내부 에너지가 증가하는 속도와 같다는 것을 의미한다. 내부에너지의 변화는 온도의 변화와 그에 따른 수은의 팽창으로 나타나는데, 결국 수은주의 높이, 즉 온도계의 눈금이 위로 올라가게 된다.
열전달계수 h는 주변 유체의 유속과 물성, 그리고 유리대롱의 크기 등에 따라 달라질 것이다. 그러나 여기서 고려하는 온도계의 특정한 설치상황에 대하여 h는 일정하다고 가정한다.
이러한 해석의 결과로 1차 상미분방정식인 식(1)을 얻었다.""
1.3.2. 1차 공정시스템
1차 공정시스템은 동특성이 1차 선형미분방정식으로 표현되는 공정이다. 이는 응답이 움직이는 특성, 즉 주어진 공정에 특정 입력을 넣었을 때 시간에 따라 출력 응답이 어떻게 움직이는지를 의미한다. 1차 공정시스템의 기본 모델식은 다음과 같다.
x(t)는 입력, y(t)는 출력을 의미하며, 이 미분방정식을 풀면 시간에 따른 출력 응답을 쉽게 예측할 수 있다. 여기서 τ는 시간상수를 나타내며, K는 정상상태 이득(steady state gain)으로 공정시스템이 입력에 대해 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타낸다. 이후 라플라스 변환을 통해 전달함수 G(s)를 도출할 수 있다.
1차 공정시스템의 경우, 입력에 대한 출력 응답은 지수함수적으로 변화하는 특성을 보인다. 즉, 입력이 변화하면 출력도 그에 따라 지수적으로 변화하여 일정 시간 후 새로운 정상상태에 도달하게 된다. 이러한 1차 공정시스템의 동적 특성은 많은 화학공정에서 관찰되며, 이를 이해하고 분석하는 것은 화학공정 제어 및 최적화에 매우 중요하다.
1.3.3. 전달함수
전달함수는 물리적인 공정에 있어서 두 변수들을 관련시켜 준다. 이 변수 중의 하나는 원인이고 다른 하나는 그 결과이다. 수은온도계의 경우에는 주위온도가 원인 또는 입력이고, 온도계눈금은 결과 또는 출력이다. 따라서 전달함수를 다음과 같이 정의할 수 있다."
전달함수 = G(s) = Y(s)/X(s)
여기서 G(s) = 전달함수를 나타내는 기호
X(s) = 편차변수로 나타낸 외란 또는 입력의 변환
Y(s) = 편차변수로 나타낸 응답 또는 출력의 변환
전달함수는 그 계의 동특성을 완전하게 나타낸다. 특정한 입력변수 X(t)를 고려하여 그 변환을 X(s)라고 하면, 그 계의 응답은 간단히 다음과 같이 표현된다.
Y(s) = G(s)X(s)
Y(s)의 역변환을 취하면, 그 계의 응답인 Y(t)를 얻는다.
전달함수는 선형미분방정식으로부터 유도되므로 중첩의 원리가 적용된다. 이것은 ...
