집합론의 역사

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집합론의 역사

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집합론이 비록 "새로운" 수학의 초석으로서 인식될지라도 직관적인 집합의 생각에 있어서 본래는 새로움이 없다. 초창기의 시대부터 수학자들은 한 종류 또는 다른 종류의 대상들의 집합을 생각하는 데에 이끌려 왔고, 현대의 집합론의 기본적인 개념들은 대단히 많은 고전적인 논의에 있어서 함축적이다.
집합이 수학의 이론으로서의 하나의 독립적인 대상이 된 것은 19세기 말. Cantor (1845~1918) 의 업적부터다. Cantor는 집합을 다음과 같이 정의하였다. 집합이란 “우리의 지각에 의하여 전체적으로 파악할 수 있는 바, 일정하고 구별 가능한 대상의 모임” 이다. 더욱 따진다면 Cantor는 “상식적인” 개념을 받아들여, 만약 우리가 대상의 성질을 표현할 수 있다면 우리는 그 성질을 가진 대상전체의 집합을 논할 수 있다고 했다.
처음 Cantor가 집합의 성질을 연구하게 된 것은 삼각급수의 매우 기술적인 분야 안의 그의 논문이었다. 처음에 그는 그 자신을 급수의 수렴과 관련해서 일어나는 실수 집합의 어떤 특별한 집합에 국한 시켰다. 그러나 Cantor는 그의 발견이 꽤 일반적으로 집합에 적용됨을 빨리 이해했었다. 1872년과 1897년




역설은 어떤 성질들이 역설적인 집합으로 유도되는 한 집합의 이 소박한 개념(Cantor의 집합개념) 은 용납 될 수 없음을 증명해 주었다.
집합의 역설은 크게 두 가지로 나뉜다. 하나는 ‘논리적’ 역설이고 다른 하나는 ‘의미론적’ 역설인데, 전자는 잘못된 논리에서 생기는 것이고 후자는 언어의 잘못에서 생기는 것이다.
역설이 나타남으로서 수학 기초론에 위기가 시작되었고, Cantor의 정의가 나타내는 것 같은 집합의 직관적인 개념은 집합론의 만족스러운 기초를 제공 해 주지 못한다고 하는 것이 매우 명백하게 되었다. 따라서 완전히 새로 출발하는 길 밖에 남지 않았고 그래서 등장한 것이 공리론적 집합론이다.
수학의 공리론적 방법은 기원 전 300년 무렵에 Euclid의 원론이 나옴과 동시에 고도로 발전 된 형식으로 나타났었다

참고 자료

유희세, 「집합론」『이 우 출판사』 (1979)
학위논문
김연, 「대학과 고등학교의 집합론 교육의 연계성에 관한 연구」『홍익대학교』 (1997)
김혜경, 「집합론에서의 class의 도입에 관한 연구」『연세대학교』 (1987)