형상수와 그 규칙성

소개글

형상수와 그 규칙성에 대한 탐구..

목차

1.1. 피타고라스 (Pythagoras)
1.2. 형상수 (Figurate number)

2.1. 삼각수 (Triangular number)
2.2. 사각수 (Square number)
2.3. 각수 (Polygonal number)

3.1. 입방수 (Cube number)
3.2. 각뿔수 (Pyramidal number)

4.1. 라그랑주의 제곱수(사각수)이론 (Lagrange`s Square number theorem)
4.2. 워링의 문제 (Warring`s problem)
4.3. 사각수와 피타고라스 수 (Square number & Pythagoras number)
4.4. 페르마의 다각수 이론 (Fermat`s Polygonal theorem)
4.5. 삼각수와 망원급수 (Triangular number & Telescoping series)
4.6. 삼각수이면서 사각수인 수 (Triangular Square number)
4.7. 형상수에 대한 사실들 (Mathematical Facts about figurate number)

본문내용

1.1. 피타고라스 (Pythagoras)
피타고라스는 기원전 572년에 그리스의 식민지 사모스 섬에서 태어났다. 그는 이탈리아의 도시 크로토네에 수와 조화를 기초로 하는 종교적인 단체인 피타고라스학파를 설립하고, 피타고라스의 정리, 형상수, 무리수의 발견 등 수학의 발전을 가져왔을 뿐만아니라 음악, 미술, 철학, 과학에도 영향을 끼쳤다.
피타고라스학파는 많은 젊은이들을 철학자 또는 정치가로 키웠다. 단체의 회원이 점차 늘어나고 배출된 젊은이들이 크로토네를 비롯한 인근 도시의 정치에 참여하여 중요 직책을 차지함으로서 피타고라스학파는 6세기 말엽에 하나의 정치세력으로 등장하게 된다. 이와 더불어 피타고라스의 사상을 전파시키려는 회원들의 지나친 노력과 피타고라스의 보수적 정치 경향은 크로토네 시민들로부터 반감을 불러 일으켰다.
결국 피타고라스학파는 반대파에 의해 제거되었고, 피타고라스는 그 당시 사망했다고 알려져있다.
1.2. 형상수 (Figurate number)
피타고라스학파의 기본 원리 중 만물을 수(數)로써 생각하는 사상으로 형상수가 생성되었다. 이는 점을 어떤 도형으로 점이나 물건을 배치했을 때, 그 점이나 물건의 갯수가 될 수 있는 수를 말한다. 다각수나, 도형수라고도 하는데, 여기서는 3차원의 형상수도 생각하므로 형상수라고 하겠다. 형상수가 이루는 수열은 어떤 규칙을 가지고 있으므로 시각적으로 형상수는 수열을 탐구할 수 있는 좋은 소재이다.
제 2 절 2차원 형상수
Figurate number in plane
2.1. 삼각수 (Triangular number)
다음과 같이 어떤 물건으로 삼각형을 배열했을 때 그 삼각형을 이루는 물건의 수를 삼각수라 한다.
삼각수가 이루는 수열을 차례로 {}이라 하면, 위 그림에서 , , 임을 알 수 있다.
위 그림에서 {}은 이고, 공차가 1인 등차수열임을 알 수 있다. 즉, ,
삼각수 수열 은 수열 의 합과 같으므로
또, 이를 점화식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2.2. 사각수 (Square number)
다음과 같이 어떤 물건을 정사각형과 같이 배열했을 때, 그 물건의 수가 될 수 있는 수를 사각수라고 한다.
사각수가 이루는 수열을 {}이라고 하면, 임을 알 수 있다.

참고 자료

Weisstein Eric W., "Fermat's Polygonal Number Theorem" form Math World.
http://mathworld.wolfram.com/FermatsPolygonalNumberTheorem.html
Weisstein Eric W., "Waring's Problem" form Math World.
http://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html
Nathanson Melbyn B. (1996). Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer
Weisstein Eric W., "Lagrange's Four Square Theorem" form Math World.
http://mathworld.wolfram.com/LagrangesFourSquareTheorem.html
From Wikipedia, the free encyclopedia "Category:Figurate numbers"
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Figurate_numbers
From Wikipedia, the free encyclopedia "Waring's problem"
http://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전. "피타고라스“
http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4
Jeong Hye-ran (mathematics education majors the graduate school of education Hankuk University of Foreign Studies, 2006). A Study on Figurate Number And Decimal System in Discrete Mathematics
불완전한 천재 수학자들 p62~p79(모리쓰요시 지음, 김경은 옮김, 살림Math 출판)
청소년을 위한 서양수학사 p10~p17 (고상숙 고호경 지음, 두리미디어 출판)
일등급 수학 I 586제 p140(이종석, 박경일, 김강배, 최보규 지음, 한솔GRU 출판)