초등 수학교육과 연계한 오일러의 한붓 그리기 수업

목차

1. 역사적 배경
2. 이론적 배경
3. 초등수학과의 관련성
4. 학습-지도과정안
5. 학습지

본문내용

<역사적 배경>
위상수학은 오일러라는 유명한 수학자가 개척한 분야이다. 독일의 케니히스베르그시에는 프레겔 강이 있고 그 강에는 다음 그림과 같이 7개의 다리가 놓여 있었다.

당시 많은 사람들이 “같은 다리를 두 번 이상 건너지 않고 모든 다리를 산책할 수 있는 방법, 또는 어떤 지점으로부터 출발하여, 중복 없이, 모든 다리를 정확히 1회만 건너서 원래의 지점으로 돌아올 수 있는 방법”을 찾으려고 노력하였다. 이 문제는 케니히스게르그시에 있어서 오랫동안 풀리지 않았던 문제였다. 물론, 일일이 건너가거나 그림을 그려보는 방법으로는 너무 복잡해서 해결이 되지 않았다. 그런데 오일러는 다리를 길거나 짧은 선으로 생각하고, 다리를 건너지 않고 걸어 다닐 수 있는 땅을 줄여서 점으로 생각하여 이 강과 다리를 점 4개와 선 7개로 다음과 같은 그림으로 나타내었다.
그리고, 다음과 같은 일반론을 얻었다.

1) 홀수개의 다리가 걸려있는 섬이 4개, 혹은 그것 이상이 있다면 이 문제의 해결이 불가능 하다.
2) 홀수개의 다리가 걸려있는 섬이 2개 있는 경우에는, 그 한 쪽으로부터 출발하여 다른 쪽으로 끝나는 방법으로의 해결이 가능하다.
3) 홀수개의 다리가 걸려있는 섬이 없다면, 어떤 섬으로 출발하더라도, 같은 섬으로 귀환하는 것이 가능하다.

이상의 결과로 오일러는 1736년에 이 문제는 해결할 수 없음을 발견하였다. 케니히스베르그시에는 19세기 후반 여덟 번째 다리가 만들어져 결국 한붓그리기가 가능해졌다.
그리고, 이 그림이 연필을 떼지 않고 선을 한 번씩만 지나게 그릴 수 있는가 하는 한붓그리기 문제로 바꿔서 생각하였다. 여기서 위상수학이 태어난 것이며, 한붓그리기가 위상수학의 한 소재가 된 것이다.

<이론적 배경>
위 그림과 같이 연필을 한 번도 떼지 않고 모든 선을 한 번씩만 지나가도록 그릴 수 있을 때, 그 도형은 한붓그리기가 가능하다고 한다. 한붓그리기가 가능한 도형이 있고, 그렇지 않은 도형이 있는데, 한붓그리기가 가능함에 있어서는 조건이 있다. 그 조건을 설명하기에 앞서 홀수점과 짝수점의 설명이 필요하다.

참고 자료

김윤선(1992) , 한붓그리기 문제에 관한 고찰, 동국대학교 교육대학원
http://blog.daum.net/gift_math/1370612(수학영재 길잡이 - 수학영재 영역별 접근 NO.8 한붓그리기)
http://www.sanakgol.pe.kr/board.php?board=kkkmathhlive&page=4&command=body&no=4&no=3(사낙골의 수학교실)
http://news.khan.co.kr/section/khan_art_view.html?mode=view&artid=200804281444592&code=900314(생활 속 수학이야기 - 13 위상수학과 한붓그리기)