정수론에서 서로소

목차

없음

본문내용

Well-Ordering Principle(정수의 정렬성)
양의 정수 전체의 집합 ?의 부분집합 ()에는 최소원소 이 존재한다.

[보기] {}에는 최소원소 2가 존재한다.

[문제] 위의 [보기]처럼 ?의 부분집합을 하나 만들고 최소 원소를 구하시오.

[정의] 두 정수 에 대하여 인 정수 가 존재할 때, 를 의 약수(divisor) 또는 인수(factor)라 하고 를 의 배수(multiple)라고 하며 이 사실을 로 나타낸다. 또 이때 “는 를 나눈다.” 와 같이 읽는다. 한편, 가 아닐 때, 이 사실을 로 나타낸다.

[보기] -6=(-3) 인 정수 가 존재하므로 -3은 -6의 약수이고 -3|-6 이다.
(즉, -3은 -6을 나눈다.)

[문제] 참이면 T 거짓이면 F 로 표시하시오.
-5는 15의 약수이다. ( ) -7은 12를 나눈다. ( ) 13|0 ( )
-7은 14의 인수이다. ( ) -5는 15를 나눈다. ( ) 12|3 ( )

< 중 략 >

[정리]?의 부분집합 가 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있으면, () 인 정수 이 단 하나 존재한다.

(증명)?의 부분집합 가 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있다고 하자. 이 때, 이므로 를 택하면 이다. 이제 두 가지 경우로 나누어 보자.
(ⅰ)인 경우
이므로 () 인 정수 이 단 하나 존재한다.
(만약 이고 이면 이므로 모순이다.)
(ⅱ)인 경우
인 정수 가 존재하고 또 이므로 에는 양의 정수가 존재한다. 으로 두면 에는 최소원소가 존재한다. (정수의 정렬성)
이제 의 최소원소를 이라 하면 이므로 임의의 정수 에 대하여 이다. 즉, 이다. () … ①
한편, 임의의 에 대하여 인 두 정수 이 존재한다. 이 때, 이고 이므로 이다. (또한 은 최소원소 이므로 , )
따라서 이다. ( ) … ②
①, ②에 의하여 이다. 또한 이므로 은 유일하다.

참고 자료

김응태`박승안, 정수론, 제6판, 경문사, 2006