2018학년도 연세대학교 수시모집 논술시험 문제 답안(수학)

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본문내용

제시문의 주어진 삼각형에 타원 이 접하기 위해서는 삼각형의 한 변을 포함하는 두 직선 y=x+1와 y=-x+1에 타원이 접하여야 한다. 그러므로 이들 직선과 타원을 연립하여 을 얻고, 중근을 가져야 하므로 판별식 D/4= 에서 a와 b의 관계식 를 구할 수 있다. 또한 1-2b= 에서 b< 이고, 타원이 삼각형에 내접하기 위해서 b>0이어야 하며, 넓이 에서 a>0이므로 a와 b의 범위는 0<a<1, 0<b< 이어야 한다.

**별해. 타원 에 기울기 m인 접선의 방정식은 판별식에 의해 y=mx이다. 이 문제에서는 m=1,-1 인 경우 이므로 접선의 식에 대입하여 직선을 y축으로 b만큼 평행 이동하면 이 되고, 이 식이 두 접선 y=x+1와 y=-x+1이어야 한다. 그러므로 계수를 비교하면 에서 a와 b의 관계식 를 구할 수 있다. 또한 1-2b= 에서 b< 이고, 타원이 삼각형에 내접하기 위해서 b>0이어야 하며, 넓이 에서 a>0이므로 a와 b의 범위는 0<a<1, 0<b< 이어야 한다.

[1-2].
타원의 넓이 이다. 라 하여 만족하는 a를 구하면 에서 극값을 갖는다. 그리고 에서 에서 이므로 삼차함수 는 에서 극대이고 최대이다. 그러므로 넓이의 최댓값은 b=일 때 갖는다.

[1-3].
넓이가 이므로 = 에서 을 얻고, 이 방정식을 인수분해하면 이므로
에서 타원의 넓이는 이다.

[2-1].
f(x)의 개형을 그리면 아래와 같다.

(1). m>1 일 때 이다.
(2). 0< m일 때, ==이다. 그 까닭은 x-m=t로 치환하여 k
=k=k[=을 얻기 때문이다.

3). 일 때, =
=이다. 왜냐하면 x-m=t로 치환하여 =
=k[
=이기 때문이다.

[2-2]. =0 을 만족하는 x=m,2m,3m에서 극값을 갖는다. 그리고 x<m와 2m<x<3m 일 때 <0 이고, m<x<2m와 x>3m 일 때 >0 이므로
개형은 [2-1]과 같다.

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