Group에 대한 정의와 예

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생활속의 수학
그룹(Group)에 대한 정의와 예 입니다.

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Group Theory and Exam


어떤 법칙이 정의돼 있는 집합의 원소에 임의의 두 원소를 결합해 그 결과 역시 그 집합의 원소가 될 때, 이를 ‘군’(群, group)이라 하는 이론이다.

모든 정수(整數)의 집합을 S라 하고, 집합 S에 속하는 임의의 두 원소(여기서는 정수)를 취하여 더하면 그 합은 역시 정수로서 집합 S의 원소가 된다. 또한 S는,

① 결합률 (a+b)+c=a+(b+c)가 성립하며,
② 임의의 원소 a에 대하여 a＋0＝a인 단위원(單位元) 0 이 있고,
③ 임의의 원소 a는 a＋(－a)＝0이 되는 역원(逆元) －a를 가지고 있다. 이와 같이 집합 S의 원소에 어떤 결합법(이것을 S 위의 연산이라 한다. 앞의 예에서의 결합법은 덧셈이다. 일반적으로 군의 연산으로는 ·, ×, * 등의 기호가 쓰이며, 곱셈기호를 써서 나타내는 경우가 많다)이 정의되어 있고, 임의의 두 원소를 결합하면 그 결과 역시 S의 원소이며 ‘일가이항연산(一價二項演算) 하에서 닫혀 있다’라고도 한다.

쉽게 말하면,
① S의 임의의 원소 a, b, c에 대하여 결합률 a(bc)=(ab)c가 성립하며,
② S의 모든 원소 a에 대하여 ae=ea=a로 되는 단위원 e를 가지며,
③ S의 임의의 원소 a에 대하여 역원 a-1이 존재하여 aa-1=a-1a=e로 될 때 집합S를 군이라고 한다. 군이 특히 교환율 ab=ba를 만족할 때 이 군을 가환군(可換群) 또는 아벨군이라고 한다.

앞의 보기의 정수 전체의 집합 S는 덧셈에 관하여, 양의 실수 전체의 집합은 곱셈에 관하여 가환군을 이룬다. 군에 포함되는 원소의 개수를 군의 위수(位數)라 하고, 위수의 유한 ·무한에 따라 유한군 또는 무한군이라고 한다.

참고 자료

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