[열유체공학실험]-Parabolic, Elliptic, Hyperbolic 편미분 방정식의 수치해석

소개글

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목차

1. 보고서_HW02.docx
2. paraview_wave.mp4

본문내용

Explicit method 와 implicit method 은 시간에 의존하는 미분방정식을 풀 때 사용하는 수치해석 방법이다. Explicit method 은 현재의 시스템의 값으로 미래의 시스템의 값을 계산하는 것이고 Implicit method는 현재와 미래의 시스템의 값으로 미래의 시스템의 값을 계산하는 것이다.
예를 들어 dy/dx=F(y,t) 라는 미분방정식이 있을 때 explicit method를 이용한 표현방법은 y_(n+1)=y_n+ΔtF(y_n,t_n)이고 implicit method를 이용한 표현방법은 y_(n+1)=y_n+ΔtF(y_(n+1),t_(n+1))이다. Explicit method는 n의 값을 알면 n+1의 값을 계산할 수 있다. 반면에 implicit method는 우변에 n+1의 값이 있다.
Explicit method 이 더 프로그래밍 하기 쉽고 계산시간이 짧지만 stability가 매우 낮기 때문에 발산을 방지하기 위해 step size를 충분히 크게 설정해야 한다. 반면에 Implicit method 은 적당한 parameter를 설정하면 매우 높은 stability를 가지고 수렴한다. 하지만 각 step의 계산시간이 길다. 계산시간이 길지만 implicit method가 특별히 더 좋은 경우가 있다. implicit method는 충분히 큰 step size를 이용하여 계산해도 오차가 적기 때문에 긴 시간에 대한 방정식을 푸는데 좋다. 또한 contact와 같은 비선형 방정식에서 과거의 값으로 미래의 값을 예측하기 힘들기 때문에 explicit method 보단 implicit method를 이용하는 것이 좋다.

Fourier 법을 이용하여 확산방정식의 안정성을 해석하자.
다음은 확산방정식의 차분방정식이다. 시간단계 n에서 차분방정식의 해를 u(x,t^n )=F(x)라고 하자. F(x)를 Fourier 급수로 형태로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.

참고 자료

없음