세종대학교 현대과학으로의여행 중간고사대체보고서

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(1) 케플러의 제2법칙(면적속도 일정의 법칙)을 각운동량 보존법칙으로부터 증명하시오.
:케플러의 제 2법칙 (면적속도 일정의 법칙)은 ‘행성과 태양을 이어주는 가상의 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.’ 이다. 이를 각 운동량 보존법칙으로부터 증명하겠다. 면적속도는 수학적으로 다음과 같이 정의된다.
s=1/2r^2θ
이는 케플러의 제2법칙이 행성 운동의 운동 상수인 것을 의미한다. 또한, 행성의 공전 속도를 사용하여 r x v = const 가 일정하다고 말하기도 한다. 위 값은 행성의 각운동량에 비례한다. 따라서 이 법칙은 만유인력의 법칙과 아무런 관계없이 각운동량 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다. 행성의 위치를 나타내는 벡터를 r 이라고 두었을 때, 시간 dt 동안 이것을 쓸고 지나가는 면적을 dA 라고 하면, dA=1/2|r×dr/dt| 이다.
이를 통해 면적 속도 dA/dt는 1/2∣r×dr/dt∣=1/2|r×v|로 구할 수 있다. 이제 시간에 대해 미분했을 때 0이 됨을 보이면 된다.
=> d/dt|r×v|=|v×v+r×a|
평행한 벡터의 외적은 0이므로, v×v=0 이다. 그리고 행성에 작용하는 힘은 언제나 태양, 다시 말해 원점을 향하기 때문에, 위치 벡터 뿐만 아니라 가속도 벡터도 평행하다. 즉, d/dt∣r x v∣=∣v x v + r x a∣=0 이다.
각운동량 보존법칙은 L=r×p 로 정의할 수 있다. 여기서 운동량은 mv이므로, L = r × mv = m(r×v)으로 표현할 수 있다.
위에서와 같은 논리로, dL/dt=0 이라는 것을 유도할 수 있다. 즉, 행성의 궤도 운동에서 각 운동량이라는 것은 보존된다고 볼 수 있다. 따라서 이를 l=L/m=|r×v|로 정의할 수 있다. 질량과 각운동량 둘 다 변하지 않으므로, l도 일정하다. 그러면 dA/dt =l/2 이므로, 면적 속도 일정의 법칙 또한 유도할 수 있다.

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