[우수보고서]리만적분과 르벡적분의 비교

목차

1. 연구동기

2. 이론적 배경(선행연구 검토)

3. 연구 활동 일지

4. 연구 내용
1) 리만상합과 리만하합
2) 리만적분의 약점
3) 정의
4) 르베그 적분의 중요한 정리

5. 정리 및 제언

6. 참고문헌

7. 연구를 통해 배우고 느낀점

본문내용

리만 적분은 구분구적법을 발전시킨 것으로, 적분 구간을 나눌 때 같은 길이의 구간으로 나누지 않고 임의의 구간으로 나눈 후에 직사각형을 이용하여 넓이를 구하는 적분 방법을 말한다. 구간에서 직사각형의 높이를 계산할 때 각 구간의 끝점이 아닌 임의의 점의 함숫값을 구하는 것이다. 오른쪽 리만 합, 왼쪽 리만 합, 가운데 리만 합 등이 있다. 왼쪽 리만 합은 그래프를 임의로 분할한 다음 그 분할구간의 길이와 분할한 구간의 왼쪽 점의 함숫값을 곱하는 것이고, 오른쪽 리만 합은 구간의 오른쪽 점의 함숫값을 곱하는 것이다. 가운데 리만 합은 이름처럼 분할구간의 중점을 곱하여 계산하는 방법이다. 실제 적분을 할 때에는 분할 구간을 크게 잡기보다는 분할 구간들의 길이를 0에 수렴시킴으로써 오차를 줄인다.

더 자세히 알아보자면, 면적을 쪼갤 때 정의역의 닫힌구간 [a,b]을 유한 개로 나눈다.
정의역의 닫힌구간 [a,b]를 유한한 n개로 나누는 것을 '분할'이라고 한다. 이때 똑같은 길이로 닫힌구간을 나누지 않아도 된다.
또한, 닫힌구간 [a,b] 는 합집합의 기호를 이용하여 여러 개의 닫힌 부분구간의 합으로 표현할 수 있다. 닫힌구간 [a,b]를 n개로 나눈 후 계산할 영역을 간단한 도형으로 쪼갠다.
각 부분구간에 해당하는 함수값 중 최솟값(즉, 하한)을 기준으로 잡고 쪼개는 방법, 각 부분구간에 해당하는 함숫값 중 최댓값(즉, 상한)을 기준으로 쪼개는 방법 등이 있다.
상한과 하한은 각각 다음과 같이 표현된다.

참고 자료

르벡적분과 적분가능 함수공간 , 2010 , 이인선 , 원광대학교
적분개념의 발달 : 리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로 , 2008 , 김경화 , 한국수학사학회지
구분구적법과 정적분의 개념 분석, 2008 , 신보미 외 1 명 , 한국학교수학회논문집
수학백과 리만적분
수학백과 르베그 적분