공업수학12장-복소수와 복소 함수 및 등각사상

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본문내용

▶복소수(complex number) 는 실수 의 순서쌍이다.

: 의 실수부(real part)
: 의 허수부(imaginary part)
▶ 허수단위(imaginary unit)
: 실수 0, 허수 1
■ 덧셈, 곱셈, 표기법
▶ 두 복소수 과 의 합 정의

▶ 두 복소수 과 의 곱 정의

▶ 실수 과 의 덧셈과 곱셈을 복소수 형태로 표현하면


- 따라서 복소수는 실수의 확장이다.

▶ 복소수 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서
- 두 복소수 과 의 합 정의

- 두 복소수 과 의 곱 정의


예제 1 실부, 허부, 복소수의 곱과 합 : 다음 함수의 실수부, 허수부, 합과 곱을 구하라.
,
<풀이>
, , ,
■ 뺄셈과 나눗셈
▶ 뺄셈 : 즉 를 만족하는 복소수

▶ 나눗셈 : 즉 를 만족하는 복소수

,
- 연립방정식의 해를 구하면
, ,
,
예제 2 복소함수의 차와 나누기 : , 의 차와 나누기를 구하라.
<풀이>


■ 복소평면
- 복소수의 기하학적 표현은 복소수를 평면상의 점으로 표시한 것
- 서로 직교하는 좌표축 즉 실수축(real axis)이라는 x축과 허수축(imaginary axis)이라는 y축으로 하는 직교 좌표계를 복소평면이라 함
<예> 복소평면에서 점 의 표현 : 그림 12.1
<예> 복소평면에서 점 의 표현 : 그림 12.2
<예> 복소평면에서 덧셈 의 표현 : 그림 12.3
<예> 복소평면에서 뺄셈 의 표현 : 그림 12.4
■ 공액복소수( complex conjugate number)
- 복소수 의 공액복소수 는

<예> 와 공액복소수 를 복소평면에 표시 : 그림12.5
- 복소수 에 공액복소수 를 곱하면 의 크기 제곱을 얻는다.

- 복소수 에 공액복소수 를 더하면 의 실수부를, 빼면 허수부를 얻는다.

- 복소수의 합과 차 의 공액복소수 는

- 복소수의 곱 와 나누기 의 공액복소수는
,
예제 3 , 에 대하여 , ,
가 성립함을 보여라.
<풀이>
- 이고 이므로 성립
-이고 이므로 성립
-

따라서 가 성립합니다.

12.1 복소수의 극형식, 거듭제곱과 근

▶ 극좌표 : 반지름 과 회전 각 로 나타낸 좌표계로 복소평면에서 실수축 와 허수축 의 관계는 다음과 같다.
, : 그림 12.6
▶ 극형식 : 복소수 를 극좌표에 나타낸 것을 극형식이라 한다.

여기서
( 원점에서 점 까지의 거리)
: 의 편각(=실수축과 가 이루는 각)
- 의 dimension은 radian (는 2pi radian)
- 의 양의 방향 : 시계 반대 방향
- 인 복소수 의 편각을 편각의 주 값이라 하며 다음과 같이 표현한다.

▶ 복소평면에서 두 점 과 의 거리 : : 그림 12.7
예제 1 복소수의 극형식, 주값 : 와 의 극형식과 주값을 구하라.
<풀이>
(a) 의 극형식과 주값을 구하라.
- 를 복소평면에 도시하면 그림12.8과 같다.

참고 자료

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