[수치해석] Gauss Elimination으로 문제 풀이

소개글

Gauss Elimination 을 사용하여 문제를 풀어라.
|0.866 0 -0.5 0 0 0 F1 0
| 0.5 0 0.866 0 0 0 | F2 -1000
|-0.866 -1 0 -1 0 0 | F3 0
|-0.5 0 0 0 -1 0 | H2 = 0
| 0 1 0.5 0 0 0 | V2 0
| 0 0 -0.866 0 0 -1| V3

목차

Problem 1
Result
Comments

본문내용

GAUSSIAN ELIMINATION
The reduced system - output by rows:
0.******-*******0 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.******-*******0 -0.******-*******0 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.******-*******0
0.******-*******0 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.******-*******0 0.******-*******8
0.******-*******0 -749.98899952

Has solution vector:
-500.******-*******8 0.00000000 250.01100048 749.98899952

with 2 row interchange(s)


주어진 트러스 문제를 풀어 도식화하면 하단의 것처럼 나타낼 수가 있다. 결과에서 볼 수 있듯이 Gauss Elimination을 하면서 선행의 값이 0이면 문제가 발상하게 된다. 이에 Pivoting이 중요한데 여기서는 계산을 하는 과정에서 2번의 Row Change를 하였다. 그리고 위 결과에서 볼 수 있듯이 Hatch된 부분이 모두 0으로 된 것을 확인할 있다. 즉, Upper Triangle Matrix가 된 것을 확인할 수 있었다.

좌측의 Test Problem을 풀면
이고,
Solution 은 1000, 866, 500, 433, 433, 2000, 1250
< Testing Problem Result>
이다. 그리고 Row Change 는 역시 2이다.
이를 도식화하면 왼쪽의 그림과 같다.
여기서 알 수 있듯이 Initial Value 만 알고 있으면 이와 같은 유형의 트러스 문제는 모두 구할 수 있음을 확인할 수 있다.

Gauss Elimination 으로 문제를 풀때는 항상 Pivoting을 잘 해야한다. 그렇지 않으면 Gauss Elimination을 할 수 없게 된다. Row의 Leading이 0이 되어버리면 나눌 수 없기 때문이다.

주어진 문제는 Kirchhoff 전류법칙을 각 노드에 적용하여 전류를 푸는 문제이다. 여기서 각 노드에 걸리는 전류를 6개의 방정식을 세워 행렬식으로 만든다. 이것을 이용해 Gauss Elimination을 하면 위와 같은 결과가 도출됨을 확인하였다.
여기서는 Leading이 0이 되는 것이 한번 있어 Row interchag 1이 된 것을 확인하였다. 이와 같이 Pivoting이 중요함을 확인할 수 있다.
이 결과를 가지고 각 노드의 전압과 전류를 계산하여 도식하하면 다음과 같다.
i=1.5385
i=6.153.8
V=153.85
V=169.23
V=200
V=0
V=146.15
V=123.08
< Result of Using Gauss Elimination Method >

이를 이용해 초기 전압이 600V로 가정하고 다음 문제를 풀어보면, 행렬식은 다음과 같다.

그리고 이를 Gauss Elimination 한 결과는 다음과 같다.
The reduced system - output by rows:
1.00000000 1.00000000 1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.******-*******0 0.******-*******0 0.00000000 0.00000000
0.******-*******0 0.00000000 0.00000000 1.00000000 0.00000000
0.******-*******0 -15.00000000 0.00000000
0.******-*******0 0.00000000
0.******-*******0 600.000000

참고 자료

없음