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'수학의 향연'이라는 책을 읽고서

‘수학의 향연’이라는 제목의 책을 읽고서…소속 : 한국항공대학교학부(과) : 전자,정보통신,컴퓨터 공학부과목 : 미적분학담당교수 : 명재득이름 : 김상현목차글의 요약1) 최대값을 구하는 문제에 대하여2) 최대 문제를 해결하는데 알아야 할 기본 원리는 무엇일까?3) 조합 문제에 대하여4) 어떤 지도라도 네 가지 색으로 칠할 수 있을까?5) 피타고라스 수와 페르마 정리에 대하여6) 수 30의 특성과 본즈(Bonse)의 부등식에 대하여7) 순환소수에 대하여8) 산술평균과 기하평균에 대하여9) 유리수로 무리수에 접근하려면10) 원전수를 일반적인 방법으로 찾으려면나의 소감최대값을 구하는 문제에 대하여같은 둘레의 길이를 가진 모든 직사각형 중에서 정사각형이 가장 크다.F ED X CY ZA G B수학이라....첨에는 무지 어려운 과목이라 생각했다. 단순히 암기, 계산이라는 수풀이의 차원을 떠나서 수학은 우리에게 더 논리적인 사고력을 원했기 때문이다. 수학의 두려움을 해소하기 위해 논리력과 사고력을 향상시킨다는 별 프로그램을 다 해보았으나 성과는 ‘자신감’ 뿐이었다. “할 수 있다.”는 자신감.그 후에 수학은 쉬워졌다. 자신감은 인간에게 무엇이든지 할 수 있는 힘을 주는 것 같다. 그 자신감으로 인류는 많은 성과를 이루어냈다. 그 기본바탕에는 수학이 있다.그 거대한 자신감을 가지고 이 책을 읽었으나 결과는 넉다운이었다. 전혀 이해가 되지 않았다. 요즘 무협만화 ‘풍운’을 주로 읽는데 거기서 주로 얘기하는 ‘그릇의 차이’일지도 모르겠다. 그래서 거의 줄거리만 다룬 것이 아닌지도 모른다.하여간 지금부터 이 책에 대해서 논해보기로 하자. 너무 방대한 양이어서(핑계?) 많은 주제는 다루지 못한다. 솔직히 양이 아니라 질이다. 내가 그 많은 걸 이해하기에는 능력부족이랄까?1. 소수 열은 왜 멈추지 않을까?이 책에서 내가 전혀 생각해 보지 않은 주제 중의 하나이다. 솔직히 다른 것들도 그랬지만 이 주제는 가장 단순히 이해했을 뿐 왜 그런지에 대해서는 의문조차 가져 본 일이 없다.6은 2 곱하기 3과 같지만, 7은 이처럼 소인수의 곱으로 표현할 수 없다. 따라서, 7은 소수라 불리운다. 소수는 보다 작은 두 개의 인수의 곱으로 표현할 수 없는 범자연수를 말한다. 5와 3은 소수인 반면, 4와 12는 각각 4=2*2와 12=3*4가 되므로 소수가 아니다. 4나 12와 같이 인수분해가 가능한 수를 합성수라 한다. 1은 합성수가 아니지만 다른 수와는 성격이 다르기 때문에 소수로도 간주하지 않는다. 결과적으로 2가 첫 번재 소수이고, 2부터 소수를 쭉 나열해 보면:2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.......이 소수의 수열(이하 ‘소수 열’이라 칭함)을 언뜻 보면, 이 수열은 어떤 단순한 법칙도 따르지 않는 것 같다. 실제로 소수 열의 구조는 매우 복잡한 것으로 알려져 있다.2이상의 모든 범자연수는 소수의 곱으로 나타내어질 때까지 계속해서 인수분해될 수 있다. 6=283은 즉각적으로 두 소수의 곱으로 표현될 수 있는 반면, 30은 30=5*6과 6=2*3이 되어 세 소수의 곱 2*3*5로도 표현된다. 이와 유사하게, 24는 네 개의 소인수를 갖는데, 이 중 세 개는 소수, 2이다. 5와 같은 소수의 경우에는 한 개의 소수의 곱, 5=5로만 쓸 수 있다. 따라서, 소수는 모든 범 자연수를 나열하는데 있어서 구성 요소로 간주될 수 있다.각 소수 다음에는 보다 큰 소수가 존재한다.유클리드(Euclid)의 [원론](Elements)의 제 9권에는 소수 열이 궁극적으로 끝나는지에 대한 질문과 답이 있다. 그 저서에서 소수 열은 끝이 없고 각 소수 다음에는 보다 큰 다른 소수가 발견될 수 있음을 밝히고 있다.유클리드의 증명은 아주 절묘하나 의외로 간단하다. 3, 6, 9, 12, 15, 18, …과 같은 수들은 모두 3의 배수이다. 그 밖의 다른 수들은 절대3으로 나눠질 수 없다. 바로 다음의 큰 수는 3의 배수에 1씩 더한 4, 7, 10, 13, 16, 19, … 인데, 이것은 분명히 3으로 나눠질 수 없다.예를 들어, 19=6*3+1, 22=7*3+1 등을 들 수 있다. 같은 방법으로, 5의 배수에 1씩 더한 수들은 5로 나눠질수 없다.(21=4*5+1 등), 7이나 11에 대해서도 마찬가지이다. 유클리드는 다음과 같이 수를 표현하였다.2*3+1=72*3*5+1=312*3*5*7+1=2112*3*5*7*11+1=2,3112*3*5*7*11*13+1=30,031 등우선 첫번째 소수부터 두 번째 소수까지, 첫번째 소수부터 세번째 소수까지 등을 각각 곱한 다음 그 결과에 1씩 더한다. 이렇게 하여 만들어진 수는 그 수를 만들기 위하여 사용된 어떠한 소수로도 나눠지지 않는다. 31은 2의 배수에 1을 더한 것과 같으므로 이 수는 2로 나눠지지 않는다. 31은 3의 배수에 1을 더한 것과 같으므로 이 수는 3으로도 나눠지지 않는다. 31은 5의 배수에 1을 더한 것과 같으므로 이 수는 5로도 나눠지지 않는다. 결국, 31은 소수가 되고 이것은 분명히 5보다 크다. 마찬가지로 211과 2311도 새로 만들어진 소수이지만, 30031은 소수가 아니다. 그러나, 30031은 2,3,5,7,11,13으로 나눠지지 않으므로 30031의 소인수들은 13보다 크다. 사실 30031=59*509를 아는 것은 그리 어렵지 않다.이러한 논의는 얼마든지 계속될 수 있다. P를 임의의 소수라 하고 2부터 p까지의 모든 소수의 곱을 만들어 보자. 이 곱에 1을 더하여 나타내 보면,2*3*5*7*11 … p + 1 = N이 된다.소수 열의 불규칙성N은 소수 2, 3, 5, … , p중의 어떤 것으로도 나눠지지 않으므로, N은 소수(p보다 훨씬 큰)이거나 아니면 N의 모든 소인수는 2, 3, 5, …, p가 아닌 p보다 큰 수이다. 어느 경우에서도 p보다 큰 새로운 소수가 나타날 수 있으므로 p가 아무리 큰 수일지라도 p보다 큰 다른 소수가 항상 존재한다.유클리드에 의해 이루어진 이 증명 부분은 감탄할 만한 것이지만, 이 문제 자체는 이론적인 흥미거리에 불과하다. 사실, 이러한 문제는 수학적 사고에 대한 어떤 내적인 느낌을 갖고 있는 사람에 의해서만 제안될 수 있다. 그런데, 수학에 대한 이러한 느낌이나 수학의 아름다움에 대한 감상은 고대 그리스인들에게는 절대적인 것이였고 그 후손들에게도 마찬가지였다. 그럼에도 불구하고, 이 문제는 대부분 사람들에게 철저히 외면당했었고 심지어 그들의 관심거리가 된 후에도 사소하고 평이한 문제로 간주됐을 뿐 이 문제의 진가는 그리 쉽게 드러나지 않았다.2. 산술평균에 대하여산술평균은 고등학교 과정을 거쳐온 내 또래의 아이들이라면 누구나 알고 있을 것이다.우선 산술평균의 개념에 대해 알아보자.어떤 물건의 길이를 측정하였더니 2.172피이트였다. 이것을 두 번 더 측정해 보았더니 그 길이는 각각 2.176과 2.171피이트였다. 어떤 것이 그 물건의 실제 길이인가? 이런 경우에는 측정해서 얻은 값을 모두 더하여 그 값의 개수로 나누는 평균값을 사용하는 것이 상례이다. 즉, 세 수치를 더한 값이 6.519이고 이것을 3으로 나누면 2.173피이트가 된다. 이 평균값을 산술평균이라한다. n개의 수 a1, a2, a3, ... , an의 산술평균은A= 1/n X (a1 + a2 + a3 + ... + an) --------(1)산술평균 이외에 다른 평균이 존재한다는 것을 곧 알게 되겠지만 우선 평균이라는 것이 무엇인지 알아보자. 위에서 물건을 피이트 단위로 측정하였는데 이것을 인치 단위로 재어 보면 단위만 바뀔 뿐 전에 얻은 결과와 똑같다는 것을 쉽게 알 수 있다. 각 측정 결과에 12를 곱하고 평균 결과에도 12를 곱해야 한다. 이것은 12를 곱하거나 또는 다른 어떤 수 t를 곱해도 성립해야 한다. 어떤 자든지 측정에 사용될 수 있기 때문이다. 만약 산술평균(1)이 평균으로서 합당하다면 그것은 다음과 같은 특성을 가져야 한다. 각 ai에 t를 곱하면 마지막 결과 A에도 t를 곱해야 한다. (A)의 양변을 t로 나누면 방정식(1)을 얻을 수 있으므로, (A)가 성립한다. 성질(A)를 만족할 때 산술평균은 “동질이다”고 말한다. 실제로, 평균으로 사용되는 것은 모두 동질이어야 한다.평균의 보다 단순한 두 번째 성질은 다음과 같다. a1, a2, a3, ... , an 중에서 가장 작은 것보다 더 작아서도 안되고 가장 큰 것보다 더 커서도 안된다. 위에서 평균값 2.177을 얻었다면 이것은 이치에 어긋난다. 산술평균(1)은 이 두 번째 성질을 가지고 있다. n개의 수의 합은 가장 작은 수와 n을 곱하여 얻은 수보다 작지 않고 가장 큰 수와 n을 곱하여 얻은 수보다 크지 않다.다음에는 산술평균이 바뀔 수 있는 아주 명백한 방법이 하나 있다. 앞서 제시한 예에서, 만약 측정자가 2.172이나 2.176보다 2.171을 훨씬 더 신중하게 측정하여 얻은 값이라면, 그는 아마 이 값에 더 비중을 두어야 한다고 생각할 것이다. 만약 이 마지막 측정 때 첫 번째 또는 두 번째의 경우보다 4배의 가중치를 두었다면, 처음 두 측정치 2.172와 2.176을 기록하고 다음에 2.171을 4번 기록한다. 이것을 모두 다 더하고 6으로 나누면 평균2.172을 얻을 수 있다. 마지막 측정값을 한 번만 적는 것이 보다 쉬웠겠지만, 여기서는 이 값에 4를 곱하고 1+1+4=6으로 나누는 것을 기억해야 한다. 이와 같은 평균을 가중산술평균이라고 한다. 만약 a1에 가중치 w1을 a2에 가중치 w2를, a3에 가중치 w3을, 이런 식으로 계속하여 an에 가중치 wn을 둔다면, 이 대 가중산술평균은W=1/w1 + w2 + w3 + ... +wn *(w1a1 + w2a2+ w3a3 + ... + w na n)이 된다. 가중산술평균도 앞에서 제시한 두 가지 성질을 가지고 있다는 사실을 증명하는 것은 비교적 간단하다. 가중평균은 가중산술평균의 기본 아이디어에 어떤 것도 더함이 없이 그저 보다 더 복잡한 기호로만 되어 있을 뿐이다.

공학/기술| 2000.09.25| 8페이지| 1,000원| 조회(676)

수학, 감상문, 미적분, 수학의향연

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SCJP-CERTIFICATION(1장)

A programmer's Guide to Java CertificationBasics of Java Programming 1Supplementay Objectives(목표설명)- 객체지향프로그래밍의 기본적인 용어와 개념에 대하여 알아보자: classes(클래스), objects(객체), references(참조), members, variables(변수), methods, inheritance(상속)- 자바 프로그램의 주요 요소들을 인지하라.- 독립적인 자바 애플리케이션과 자바 애플릿을 구별하라.- 자바 프로그램을 컴파일하고 실행하는 법을 알아보자.1.1 Introduce자바 프로그래머 자격증을 얻는 길에 오르기 전에 객체 지향 프로그래밍의 기초용어와 개념을 이해하는 것이 중요하다. 자바는 독립형의 애플리케이션과 애플릿의 사용을 지원한다. 그 기본적인 요소들은 다양한 종류의 프로그램을 소개하는데 사용되고 있다. 연습은 완벽함을 만든다는 오래된 격언은 프로그래밍 언어를 배울 때 특히 사실적이다. 컴퓨터로 프로그래밍하는 것을 장려하기 위해 컴파일하는 것과 자바프로그램 실행의 기교에 대해 약술했다.이 장에서는 그 주제의 철저한 적용범위를 언급하기보다는 제작을 위한 중점을 소개하였다. 이번주제의 면밀한 적용범위는 그 책의 다음 장으로 가기 위해 당연히 지나야 할 과정이다.1.2 ClassesAbstractions(추상화)는 복잡한 것들을 다루는 데 기본적인 방법 중의 하나이다. 추상화는 다른 객체들과 구별짓기 위한 본질적인 속성을 의미한다. 객체 지향 프로그래밍의 본질은 클래스와 객체를 사용하여 추상적 개념을 설계하는 것이다. 올바른 추상적 개념을 찾으려고 시도하는 것은 어려운 부분이다.class(클래스) 형은 추상적 개념에 의해 나타나는 객체의 속성을 규정짓는 추상화이다. 그러한 의미의 클래스는 객체의 범주, 그리고 그런 객체들을 생성하기 위한 청사진으로써 작용한다. 객체는 클래스에 의해 정의된 속성을 보여준다. 한 클래스의 객체의 속성은 또한 attributes설명하고, stack의 implementation이 효과적이지 않다는 것을 의미한다. 클래스 CharStack은 두 개의 variable(변수)를 가지고 있다 : (이 문자의 경우에)stackArray는 그 stack의 요소를 지정하기 위한 배열이고, topOfStack은 stack의 중점요소를 보여주는 것이다. 그 클래스는 다섯 가지의 메쏘드를 가지고 있다.( push(), pop(),peek(), isEmpty(), isFull() ). 그것들은 stack에서 본질적인 수행을 이행한다. 그러한 메쏘드는 constructor(생성자)라고 불리운다. 생성자의 목적은 객체가 클래스로부터 생성될 때초기화하는 것이다. 그 예의 implementation의 부가설명은 현재의 의제에서는 중요하지 않다.1.3 Objects(객체)Class Instantiation(클래스 설명)객체는 클래스의 인스턴스이다.객체는 클래스에서 청사진(ex.순서도,알고리즘)으로써 사용되기 위해 생성된다. 즉 object는 클래스의 성질, 특성 등을 나타내는 구체적인 예이다. 객체는 프로그램으로 사용되어지기 전에 객체의 클래스로부터 명시적으로 생성되어질 필요가 있다. 자바에서 객체는 object reference(또는 reference values 또는 간단히 references)를 통해서 처리되어진다. 객체 생성의 과정은 대개 다음 과정을 따를 필요가 있다.1. Declaration of a reference variable(참조 변수의 선언)- 이것은 적당한 class를 그 객체의 reference에 저장하기 위한 reference variable 선언과 관계된다.//보여줄 두 참조 변수를 선언//즉 각각의 문자의 두 stack과 두 object의 구별CharStack stack1, stack2;2. Creating an object(객체 생성)- 이것은 new operator(연산자)에 의해, 그 클래스의 생성자라고 부름과 함께, 그 클래스의 특성을 생성하기 위한 것과 관계가 있다.// c CharStack 클래스의 reference 객체가 CharStack object로 명백히 언급됨을 Figure 1.2c에서 알 수 있다. 게다가 더 간편한 표기법에 만족할 것이다.Object References (객체 참조)reference는 메모리에 생성되고 저장된 객체를 위해 핸들을 제공한다. 자바에서 객체는 단지 references를 거쳐 처리되어질 수 있고, 변수에 의해서만 저장되어질 수 있다. 객체는 여러 개의 references를 가지고 있다. 종종 그것은 가인수라고 불리운다. 객체는 몇몇의 그것의 가인수 중 하나에 의해 처리되어진다.// char에 의한 두 다른 stack 생성CharStack stackA = new CharStack(12); // Stack length: 12 charsCharStack stackB = new CharStack(6); // Stack length: 6 charsstackB = stackA; // (1) 할당 후 가명// stackB에 의해 미리 reference화 된 stack은 이제 쓰레기가 되어 모아진다.(?)두 stack은 코드 위에 생성된다. (1)에 의해 할당되기 전에, 그 상황은 Figure1.3a에의해 보여진다. (1)에 의해 할당된 후에 참조 변수 stackA와 stackB는 같은 stack임을 Figure 1.3b에 의해 보여질 것이다. 참조변수 stackA와 stackB는 그것들이 같은 객체로 보여짐으로써 할당된 후 가인수이다. 할당되기 전 참조변수 stackB에 의해 보여지는 stack object에게 무슨 일이 일어날까? 자바에서 객체삭제는 런타임 시스템에 의해 다루어진다는 것이 그 대답이다.필요하다면, 객체가 더 이상 사용되어지지 않을 때, 객체의 메모리를 다른 객체를 위해서 재할당한다. 이것을 garbage collection이라고 부른다.1.4 Instance members각 생성된 객체는 클래스에서 정의된 멤버변수의 객체자신의 인스턴스를 가지고 있다. 그것은 진술된 객체의 구성에 있 않는다.위의 샘플 코드는 그 참조변수 스택에 의해 보여지는 객체 위에 있는 메쏘드를 발생한다. 그 메쏘드는 스택에 있는 하나의 문자를 push 에 의하여 호출한다. 그리고 그 메쏘드는 그 하나의 문자도 없는 스택을 pop에 의해 호출한다. push()와 pop()에 의한 메쏘드는 클래스 CharStack에서 정의된다. push() 메쏘드는 어떠한 값도 반환하지 않는다. 그러나 pop() 메쏘드는 그 문자를 pop화한 것을 반환한다. 스택에 있는 printStackElements() 메쏘드를 발동하다가 컴파일 타임 에러를 초래하였다. 그러한 메쏘드가 클래스 CharStack에 정의되어 있지 않기 때문이다.도트'.' 표기법은 또한 이러한 변수들이 올바른 접근능력을 가지고 있다면 객체의 인스턴스 변수들을 읽어들이기 위한 reference를 사용할 수 있다. CharStack 클래스의 변수들은 독자적인 접근능력을 가지고 있다. 즉 그것들은 그 클래스 밖으로부터의 접근능력을 가지고 있지 않다는 것을 의미한다.stack.topOfStack++; //컴파일 에러 : topOfStack 은 독자적인 변수이다.1.5 Static Members이러한 경우는 특정한 멤버들이 오직 그 클래스에만 속해야 하고, 그 클래스로부터의 다른 어떤 객체가 생성되는 부분이 될 수 없다. 그러한 상황의 예는 한 클래스가 객체를 얼마나 많이 생성할 수 있는가의 흔적을 유지하기를 원한다. 생성된 객체의 number를 트랙킹(흔적을 찾다)하기 위해 그 클래스의 정의를 인스턴스 변수로써의 수로 정의하는 것은 그 문제를 해결할 수 없다. 이 수는 그 클래스의 모든 객체들을 위해 인스턴스화 될 것이기 때문이다. 그러한 수는 갱신 되어져야만 할까? 그 해결책은 정적 변수를 사용하는 것이다. 그러한 변수는 그 클래스가 런타임에서 호출될 때 초기화된다. 유사하게, 클래스는 단지 클래스에만 속하고, 그 클래스의 어떠한 객체에도 속하지 않는 정적 메쏘드를 가질 수 있다. 정적 members는 클래스의 선언부에서의만 접근할 수 있다.Table 1.1 클래스 members를 위한 용어Instance Members이것은 한 객체의 인스턴스 변수와 인스턴스 메쏘드를 말한다. 그것들은 객체 레 퍼런스를 통해서만 접근하거나 발동시킬 수 있다.Instance Variable클래스가 인스턴스화 될 때(클래스에 객체가 생성될 때), 인스턴스 변수는 할당된 다.Instance Method인스턴스 메쏘드는 클래스의 인스턴스에 속한다. 같은 클래스의 객체들은 그 클래 스의 implementation을 공유한다.Static Members이것은 한 클래스의 정적 변수와 메쏘드를 말한다. 그것들은 클래스 네임을 사용 하거나 객체 레퍼런스를 통하여 접근하거나 발동시킬 수 있다.Static Variable정적 변수는 클래스가 읽어질 때 할당된다. 정적변수는 클래스에 속하고 그 클래 스의 어떠한 객체에도 속하지 않는다.Static Method정적 메쏘드는 클래스에 속하고 클래스의 어떠한 객체에도 속하지 않는다.1.6 Inheritance(상속)클래스를 존재하게 하고 생성하기 위한 두 개의 기초적인 메커니즘이 있다.: inheritance 와 aggregation1.7 Aggregation(집합체)aggregation을 사용하여 존재하고 있는 class들로부터 새로운 classes를 만들 때, aggregate object는 다른 구성의 객체의 부분으로부터 만들어진다.자바는 객체가 다른 객체를 명시적으로 포함할 수 없기 때문에 reference에 의하여 객체의 aggregation을 지원한다. 그것들은 단지 원시형의 변수와 다른 객체로의 reference만을 포함할 수 있다. CharStack class 의 각각의 객체는 character들을 가지고 있는 배열 객체로의 reference와 stack의 top을 알리는 원시데이터형 int의 변수를 가지고 있다. 이것은 CharStack 클래스의 정의내에서 반영된다. 그리고 그것은 이러한 각각의 부분을 위한 인스턴스 변수를 포함한다. 구성 객체와 대조적으한다.

공학/기술| 2000.09.22| 9페이지| 1,000원| 조회(752)

JAVA, 자바, SCJP, 자바기초

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항공우주역사 평가A좋아요

1. 초기 항공기 발달에 기여한 사람을 들고 그 업적을 기술하라.2. 제 1차 대전에서 사용된 군용기를 조사하여 비행성능을 비교하라.(2차대전군용기도조사)3. 1930년대 항공기술의 발달과정에서 업적을 들어 설명하라.4. 제 2차 대전 전후에서 항공기 발달에 기여한 기술을 들어라5. 한국의 항공발달에 대한 자료를 조사하여 기술하라.8. 셰계최초로 출력 비행을 성콩시킨 사람과 시기 및 기록사항은?위의 문제에 대한 답변 보고서입니다.

공학/기술| 2000.09.22| 15페이지| 1,000원| 조회(2,073)

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