테일러 급수 조사
- 최초 등록일
- 2008.09.10
- 최종 저작일
- 2008.05
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소개글
테일러 급수에 대해서 조사
목차
☆ 중요한 테일러 급수
☆ 테일러 급수 일반화 시키기
본문내용
테일러 급수
가 실수이고 이 양수이며 함수 가 에서 임의의 횟수로 미분 가능하다고 하자. 에서 의 차 테일러 전개의 나머지 항을 이라 했을 때
이면 는 에서
과 같은 멱급수로 표현된다. 이 급수를 중심이 인 테일러 급수라고 부른다.
한편 중심이 0인 테일러 급수를 맥클라린 급수라고 부른다.
☆ 중요한 테일러 급수
☆ 테일러 급수 일반화 시키기
1) 일 때, 의 근사값을 구하여라.
이식에 직접 을 대입하여 계산하는 것은 계산기 없이는 불가능하다. 그러나 그래프에서 보는 바와 같이 가 에 가까운 값이라면 로 놓을 수 있고 (은 에서의 의 접선의 방정식이다.), 위 식의 값은 대략적으로 으로 구할 수 있다.
물론 과 은 전혀 다른 그래프이다. 그러나 로 에 가까운 값이라면 두 그래프가 거의 일치한다. 따라서 을 굳이 계산하지 않고도 근사값을 구해낼 수 있다.
2) 에서 미분 가능한 함수 임의의 함수 에 대한 에서 근사식을 만드는 방법은 다음과 같다.
함수 가 미분 가능하면 이다.
따라서 가 근처의 값이라면 이므로 로 근사 시킬 수 있다. 즉, 에 대한 에서의 1차 근사식은 점 에서의 접선의 방정식이 이 된다.
만일 이 근사값보다 더 정확한 값을 얻고자 한다면 위 근사식에 새로운 항을 계속 덧붙여서 점점 더 좋은 근사식을 만들어 낼 수 있다. 이 방법에 쓰이는 식이 바로 영국의 수학자 테일러가 개발한 테일러 급수이다.
3) 위의 결과를 응용하여 에 대한 3차 다항식 를 의 다항식으로 표현해 보자.
를 의 다항식으로 표현하면 다음과 같다.
이 때, 에서
에서
에서
에서 이 된다.
따라서 로 표현할 수 있다.
위의 결과들로부터 출발하여 일반화 시켜보면 다음과 같다.
함수 가 구간 에서 정의된 함수이고, 에 대하여 가 에서 유한번 미분 가능할 때 근방에서 를 근사하는
1) 일차식은
2) 이차식은
3) 삼차식은
n) n차식은
이 된다.
이것을 에서의 함수 의 n차 테일러 다항식이라 부른다.
참고 자료
없음