부산대학교 수치해석 Roots of equations 보고서

Dong그리
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최초 등록일
2021.04.12
최종 저작일
2020.05
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"수치해석 Roots of equations 보고서"에 대한 내용입니다.

목차

Ⅰ. Step1 5가지 방법으로 f(x) = e ^{ -x}-x 의 근 구하기
1. 전제 조건
2. Bisection Method
3. False Position Method
4. Fixed-point iteration Method
5. Newton-Raphson Method
6. Sacand Method

Ⅱ. Step2 반복 횟수에 따른 오차의 특성 비교
1. Data
2. Discussion

Ⅲ. Step3 각 방법 간의 오차의 특성에 관한 차이점
1. Bisection Method
2. False Position Method
3. Fixed-point iteration Method
4. Newton-Raphson Method
5. Sacand Method

본문내용

Discussion
위의 그래프를 보면 5가지 방법 모두 근을 찾기 위해 반복을 거듭할수록 오차가 0에 가까이 수렴하는 경향을 보이는 것을 확인할 수 있다. 여기서는 백분율 상대오차()가 0.0001이하로 떨어지면 반복을 그만두도록 설정하였지만 만약, 백분율 상대오차의 하한값을 0.0001보다 작은 수로 지정하고 반복을 진행했다면 반복 횟수는 더 늘어났을 것이고, 참백분율 상대오차()는 더욱 0에 가까운 값으로 수렴할 것이다.
수렴 속도의 측면으로 위의 그래프를 비교해보면, 고정점 반복법과 이분법의 경우에는 참값에 근사한 근을 갖기 위해 많은 반복횟수를 가진다는 것을 알 수 있다. 하지만 뉴턴-랩슨법, 할선법, 가위치법의 경우는 반복 횟수도 적을뿐더러 이 중, 할선법과 뉴턴-랩슨법은 다른 방법들보다 훨씬 더 정확하게 참값에 수렴한다는 것을 확인할 수 있다.
즉 방법들의 기울기 절대값으로 수렴 속도를 판단할 수 있다는 것이고, 이를 비교해보면 수렴 속도는 뉴턴-랩슨법 > 할선법 > 가위치법 > 이분법 > 고정점 반복법이다.

Step3 각 방법 간의 오차의 특성에 관한 차이점

Bisection Method
Step2에서 방법들을 비교할 때 이분법의 참백분율 상대오차의 그래프는 다른 방법들에 비해 들쭉날쭉한 형태를 띄었다. 그 이유를 설명하기 위해 이분법의 참백분율 상대오차(LEFT | varepsilon _{t} RIGHT |)와 근사값을 이용한 백분율 상대오차(LEFT | varepsilon _{a} RIGHT |)를 그래프로 나타내어 보았다. 이분법은 특성상 참근은 초기 가정값으로 정한 구간 사이에 어느 점이든 될 수 있다.

참고 자료

없음
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