MS Office 엑셀(excel)2007을 이용한 이항분포 분석

목차

1.이항분포(binomial distribution)란?
2.이항분포의 예와 이항확률 계산
2.1동전던지기의 경우
2.2시험 정답 고르기의 경우
3.이항분포의 기대값(expectation)과 분산(variance)
4.성공확률(p) 변화에 따른 이항분포 그래프 분석
5.시행횟수(n) 변화에 따른 이항분포 그래프 분석
6.음이항분포에 대하여

본문내용

1. 이항분포(binomial distribution)란?
이항분포는 베르누이 시행(시행의 결과가 `성공`, `실패`의 두 가지로만 나타남)을 기초로 하여 성공확률이p이고 실패할 확률이 (1-p)인 시행을 독립적으로 n번 반복할 경우, X(이항확률변수)를 n번 독립시행에서의 성공한 횟수라고 하면 그 X의 확률분포를 시행횟수 n과 성공확률 p를 가지는 이항분포라고 합니다. 그리고 이항분포는 b(n, p)의 형식으로 나타냅니다.
즉 모수가 (n, p)인 이항분포의 확률함수(확률질량함수)는
P(X= x) = nCx p^x(1-p)^n-x (x =0,1,2…….,n) 입니다.
※n = 시행횟수, p=성공확률, x= n번 독립시행에서의 성공한 횟수

위에서 정의한 이항분포를 이해하기 위해서는 먼저 베르누이 시행을 이해할 필요가 있습니다. 베르누이 시행이란 스위스의 수학자 Jakob Bernoulli에 의해 처음으로 연구되고 체계화된 것으로 다음의 두가지 특성을 가지는 시행을 의미합니다.

가) 베르누이 시행은 한번의 시행에서 오직 성공 또는 실패의 두가지 결과만 가능합니다. 그리고 그 결과는 서로 배타적(동시에 함께 발생할 수 없음)입니다.
예) 동전던지기의 앞면과 뒷면, 특정기계의 작동여부, 주사위에서 나올 숫자가 짝수 또는 홀수, 태어날 아기의 성별, 특정 후보의 당선 또는 탈락 등
나) 베르누이 시행에서 특정값(동전 앞면, 남자아이가 태어남, 주사위에서 짝수 등 ; 확률변수 값)을 가질 확률은 시행횟수와 관계없이 항상 일정(독립성)합니다.
예) 동전던지기의 앞면이 나올 확률이 1/2라면 10번을 시행하든 1000번을시행하든 앞면이 나올 확률은 항상 1/2로 동일함

이상의 특징에서 알 수 있듯이 베르누이 시행은 특정 시행의 결과가 `성공` 또는 `실패`의 두 가지 중 하나인 실험을 뜻합니다. 다시 말해 `예` 또는 `아니오` 중 하나의 결과를 낳는 시행을 의미하며 이러한 시행을 여러 번 계속하는 것을 베르누이 과정이라고 합니다.
따라서 베르누이 시행은 모수가 (1,p), 즉 1번의 시행에서 성공할 확률이 p인 이항분포라고 할 수 있습니다.

2.이항분포의 예와 이항확률 계산
앞에서 정의한 이항분포에 대한 실제 예를 들고 이에 따른 이항확률변수의 확률값을 엑셀 2007로 계산해보겠습니다.
2.1동전던지기의 경우
4개의 공정한 동전을 던져 앞면(성공)이 나타날 수에 대한 확률을 계산해보겠습니다.
4개의 동전을 던진다는 것은 성공(앞면이 나타남)확률 1/2하에서 하나의 동전을 4회 던지기 하는 것과 동일합니다. 이때 X를 4회 시행으로 나타난 앞면(성공)의 수라고 하면 X는 0,1,2,3,4의 값을 가질 수 있으며 모수가 (n=4, p=1/2)인 이항분포 b(4, 1/2)를 따릅니다

참고 자료

ms office online help file 등...