Symmetric Inversion of the Quadratic curve and Folium

목차

1. 서론

2. 이론적 배경
가. Symmetry
나. 유클리드 평면에서의 합동변환
다. 비유클리드 평면에서의 합동변환 - 반전
라. 구에서 본 반전

3. 연구내용
가. 타원 및 타원구에 대한 반전
나. 임의의 폐곡선에 대한 반전
다. 포물선에 대한 반전
라. 쌍곡선에 대한 반전
마. 반전의 해석적 증명

4. 결론

5. 참고 문헌

본문내용

우리에게 익숙한 유클리드 평면에서 정의되는 거리는 피타고라스 정리를 이용한다. 일반적으로 거리가 보존되는 함수를 합동변환이라 하는데, 유클리드 평면에서의 합동변환은 놀랍게도 우리가 잘 알고 있는 평행이동(translation), 대칭이동(reflection), 회전이동(rotation)과 이들의 합성함수일 뿐이다. 이천년 동안 절대적인 진리로 믿어왔던 유클리드 기하학에 대한 절대성이 흔들리기 시작한 것은 비유클리드 가하학이 거론되면서 부터이다. 그 예로 Gauss와 같은 수학자의 연구를 통해서 유클리드의 다섯 번째 공준(주어진 직선에 대하여 그 위헤 있지 않은 한 점을 지나는 평행한 직선은 하나만 존재한다.)을 부정한 비유클리드 기하학이 만들어진 것이다. 이는 우리의 경험에 비추어 보았을 때, 익숙하지 않은 대상이었지만 Klein(클라인), Poincare 등에 의하여 유클리드 기하의 용어로 쌍곡기하의 모형을 건설할 수 있음을 보인 이후 유클리드 기하와는 다른 모순이 없는 기하학적 체계로 인정받게 되었다. 이러한 비유클리드 기하학에서는 거리와 합동변환 등이 이제 새롭게 정의되어야 하는데, 특히 Poincare 모형에서의 합동성, 또는 대칭성을 정의하고 이해하기 위해서는 원에 대한 반전(inversion)을 알아야 한다.
본 연구에서는 Poincare 모형에서의 대칭을 설명하는 반전기하의 주요성질을 살펴보고, 타원이나 포물선, 더 나아가 임의의 폐곡선에 대한 반전을 새롭게 정의해보고자 한다. 또한 이러한 정의를 바탕으로 여러 가지 반전의 성질을 연구해보고자 한다. 이를 통해, 거리와 합동성이 새롭게 정의되는 모형 연구에 도움이 되고자 한다.
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참고 자료

유클리드 기하학과 비유클리드 기하학(발전과 역사)
M.J.Greenberg 저 이우영 역 경문사(박문규) 2007.02.28
유클리드 기하학과 비유클리드 기하학(해석적 접근)
Patrick J. Ryan 저 박기현, 전재복 역 경문사(박문규) 1996.02.22
Why Beauty Is Truth: A History of Symmetry
Ian Stewart 저 Perseus Books Group 2007.01.30