통계학개론 ('20-01) 출석수업대체과제물

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4. 어느 운전면허 시험장에서 10명의 시험점수가 다음과 같다고 하자.

68, 70, 70, 71, 69, 74, 71, 72, 70, 73
단, 모집단은 정규분포를 따른다고 가정한다.

4.1 이 문제에서 모집단의 정규분포 가정이 왜 중요한지 설명하라.

중심극한정리에 따라 모집단이 어떠한 분포든지 표본 크기가 충분히 크다면 모든 가능한 표본평균은 모평균 주위에 정규분포 모양을 하면서 밀집하게 된다. 이때 표본의 갯수가 30개 이상이면 표본평균 등의 통계량은 모평균 등의 모수에 대한 좋은 추정량이 될 수 있게 된다.

하지만 현재 표본의 크기는 10개로 작은데다가 모집단의 정규분포 가정이 없어 모표준편차를 모를 경우 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다고 가정할 수 없어 다른 분포를 사용해서 모수를 추정해야 한다. 그런데 해당 문제에서는 모집단이 정규분포를 따른다고 가정하였기 때문에 표본평균 역시 정규분포를 따른다고 가정하고 모수를 추정할 수 있게 된다.

4.2 95% 및 99% 신뢰구간을 구하고 두 구간을 비교하라.

data_04 <- c(68, 70, 70, 71, 69, 74, 71, 72, 70, 73)
u_hat_04 <- mean(data_04)
sd_04 <- sd(data_04)
n_04 <- length(data_04)
se_95_04 <- qt(1-0.05/2,n_04-1) * sd_04 / sqrt(n_04)
se_99_04 <- qt(1-0.01/2,n_04-1) * sd_04 / sqrt(n_04)
cat("95% 신뢰구간: (",u_hat_04- se_95_04,",",u_hat_04 + se_95_04,")\n")
cat("99% 신뢰구간: (",u_hat_04- se_99_04,",",u_hat_04 + se_99_04,")\n")

표본수가 적기 때문에 t 분포를 이용해서 구간추정을 실시하였으며 99% 신뢰구간의 경우 95% 구간에 비해서 구간이 더 넓음을 확인할 수 있다.

참고 자료

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