본문내용
1. 유체 흐름과 평판 이동
1.1. 유체의 흐름 모사
평판과 고정된 평판 사이에서의 유체 흐름 모사
이동하는 평판과 고정되어 있는 평판 사이에서의 유체의 흐름을 모사하는 것이 본 프로젝트의 목표이다. 여기서 윗판은 +X 방향으로 이동하고, 아랫판은 움직이지 않는다고 가정한다.
유체는 비압축성 뉴턴 유체로 가정한다. 유체의 밀도 ρ는 0으로 하여 방정식을 간략화하였다. 또한 유체의 점성 μ는 일정하다고 가정하였다. 유체 속도 v_x는 y에 대한 함수이며, 따라서 ∂v_x/∂x = ∂v_x/∂z = 0이다. 이 유동은 층류 흐름이므로 u_y, u_z = 0이며, 중력의 영향인 g_y는 무시할 수 있다고 가정하였다.
이러한 가정을 바탕으로 카르테시안 좌표계에서의 Navier-Stokes 방정식(x-성분)을 간략화할 수 있다. 그 결과 다음과 같은 미분방정식 형태의 전단 응력과 유체 속도를 얻을 수 있다.
τ_yx = - μ (∂v_x/∂y)
0 = - ∂P/∂x - ∂τ_yx/∂y
즉, 유체의 점도 μ와 속도 구배 ∂v_x/∂y에 의해 전단 응력 τ_yx가 결정되고, 압력 구배 ∂P/∂x와 전단 응력 구배 ∂τ_yx/∂y에 의해 유체의 x-방향 속도 v_x가 결정된다.
1.2. 미분방정식 형태의 전단 응력과 유체 속도
미분방정식 형태의 전단 응력과 유체 속도는 다음과 같다.
우선 주어진 가정에 따라 유체가 불압축성 뉴턴 유체이고 밀도 는 0, 점도 는 일정하다고 할 수 있다. 또한 유동은 층류 유동이므로 유속의 z 성분은 0이 된다. 그리고 중력 효과는 무시한다.
이를 바탕으로 x 방향의 Navier-Stokes 방정식을 정리하면 다음과 같다.
= - - ( / ) - ( / ) - ( / ) +
이 식에서 y 방향의 속도만 존재하므로 와 은 0이 된다. 따라서 식은 다음과 같이 간략화된다.
0 = - - ( / )
이 방정식을 적분하면 전단응력 는 다음과 같은 형태로 표현된다.
= - ( / )
또한 x 방향의 속도 는 y의 함수이므로 이를 미분하면 다음과 같은 미분방정식 형태로 나타낼 수 있다.
( / ) = - ( / )
따라서 이동하는 평판과 고정된 평판 사이의 유체 유동은 위와 같은 미분방정식 형태의 전단응력과 유체 속도로 모사할 수 있다.
1.3. 실제 유체 변수 선정
실제 유체의 변수 선정은 문제에서 다루려는 유체의 성질을 정확히 파악하고 이를 바탕으로 적절한 변수를 선정하는 것이 중요하다. 본 프로젝트에서는 이동하는 평판과 고정된 평판 사이의 유체 흐름을 모사하므로, 이에 적합한 유체의 물성치와 기하학적 변수를 선정해야 한다.
먼저, 유체의 물성치로는 밀도(ρ)와 점성계수(μ)를 선정하였다. 실험에서는 물을 유체로 사용하므로 물의 밀도와 점성계수 값을 적용하였다. 온도 20℃에서 물의 밀도는 998.2071 kg/m^3, 점성계수는 0.001002 Pa·s이다.
다음으로 기하학적 변수로는 평판의 길이(L), 평판 사이의 거리(2b), 평판의 이동속도(u_0) 등을 선정하였다. 평판의 길이는 100 m, 평판 사이의 거리는 1 mm, 윗평판의 이동속도는 1 cm/s로 설정하였다.
이와 같이 유체의 물성치와 기하학적 변수를 실제 상황에 맞게 선정함으로써, 보다 현실성 있는 유체 흐름 모사가 가능할 것이다.
1.4. 유체 흐름 형태 분석
주어진 시스템에서 유체의 흐름 형태는 층류(Laminar flow)라고 볼 수 있다. 이는 레이놀즈 수(Reynolds number, NRe)를 계산하여 확인할 수 있다. 레이놀즈 수는 관성력과 점성력의 비율을 나타내는 무차원수로, 다음과 같이 정의된다.
...
