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1. 미적분과 건축
1.1. 미적분이란?
미적분은 미분과 적분의 수학적 이론을 말하며, 1670년대 후반에 라이프니츠가 만들었고, 약 10년 정도 후에 뉴턴은 유율법을 만들어 미적분에 이용하였다. 라이프니츠나 뉴턴의 방법 모두 무한소 문제를 풀기 위한 것이었으며 곡선의 접선, 호의 길이, 곡률 반경, 무게중심, 면적(넓이), 부피[해석학]를 구하기 위해서 사용되었다. 우리가 살고 있는 세상은 모든 것이 움직이고 변한다. 미분은 이처럼 움직이는 대상을 다루며, 반면 적분은 도형의 넓이, 부피와 같이 움직이지 않는 대상을 다룬다. 17세기에 완성된 미분과 다르게 적분은 기원전부터 아이디어가 알려져 있었지만 움직이는 대상을 연구하는 미분이 17세기에 이르러서야 비로소 시작되었다. 이처럼 우리가 살고 있는 세상의 움직임을 다루는 미분이 적분에 비해 늦게 발전하게 된 이유는 움직이는 대상을 연구하는 것이 가만히 있는 대상을 연구하는 것보다 훨씬 어렵기 때문이다.
1.2. 건축 속 미적분
1.2.1. 연속함수
연속함수는 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속인 함수를 의미한다. 즉, 함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속이라고 한다. 또한 어떤 구간에서 연속인 함수를 연속함수라고 한다.
연속함수는 구간의 형태에 따라 달리 정의된다. 먼저, 함수 f(x)가 열린구간(a, b)에서 연속이고, lim _{x -> a+} {f(x)=f(a)}, lim _{x-> b-} {f(x)=f(b)} 를 모두 만족시킬 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b] 에서 연속이라고 한다.
이는 함수 f(x)가 해당 구간에서 어떠한 점에서도 불연속이 없이 부드럽게 연결되어 있음을 의미한다. 즉, 함수의 그래프가 해당 구간에서 종이 위에 한 번의 필압으로 그릴 수 있는 연속적인 곡선이 된다는 것을 뜻한다.
연속함수는 건축 분야에서도 중요한 역할을 한다. 건축물의 곡선 설계 등에서 연속함수를 활용하여 부드러운 곡선과 유기적인 형태를 구현할 수 있다. 특히 현대 건축에서는 연속성과 유동성을 강조하는 경향이 있으며, 이를 위해 다양한 수학적 함수를 활용하고 있다.
1.2.2. 미분가능과 연속성
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다"이다. 이는 미분가능성이 연속성보다 더 강한 조건임을 의미한다. 즉, 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하다면 자동적으로 f(x)는 x=a에서 연속이 된다는 것이다.
반면 함수 f(x)가 x=a에서 연속이라고 해서 반드시 x=a에서 미분가능한 것은 아니다. 함수 f(x)가 x=a에서 연속이 아니라면 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않다. 이를 통해 연속성은 미분가능성의 필요조건이지만 충분조건은 아님을 알 수 있다.
즉, 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이지만, f(x)가 x=a에서 연속이라도 f(x)가 x=a에서 반드시 미분가능한 것은 아니다. 이는 함수의 연속성과 미분가능성의 개념이 서로 다르다는 것을 보여준다.
1.2.3. 사이클로이드 곡선
사이클로이드 곡선은 원 모양 굴렁쇠 위의 한 지점에 점을 찍은 뒤 굴렸을 때, 그 점이 그리는 곡선이다. 이 곡선 위에서 공을 굴리면 직선보다 더 빨리 굴러 떨어진다"". 우리나라의 전통 가옥인 한옥의 기와에서도 사이클로이드 곡선을 볼 수 있는데, 이 곡선 형태의 기와는 빗방울을 빨리 흘려보내어 목재가 물에 덜 젖게 하는 역할을 한다"". 또한 스키장, 롤러코스터, 물고기의 비늘, 독수리의 낙하 등에서도 사이클로이드 곡선을 쉽게 찾아볼 수 있다"". 이처럼 우리 주변에서 쉽게 발견할 수 있는 사이클로이드 곡선은 건축, 기계, 자연 등 다양한 분야에서 응용되고 있다".
1.2.4. 지수함수
지수함수는 밑과 지수의 거듭제곱 꼴의 함수로, 1이 아닌 양수 a에 대하여 f(x)=ax 꼴로 나타나는 함수를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 한다.
지수함수 y=ax의 특성을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 밑 a가 1보다 크면 x가 증가함에 따라 y가 지속적으로 증가하는 반면, 밑 a가 0과 1 사이이면 x가 증가함에 따라 y가 지속적으로 감소한다. 둘째, 밑 a가 1보다 큰 경우 그래프는 원점을 지나는 볼록한 곡선 모양을 띠며, 밑 a가 0과 1 사이인 경우 원점을 지나는 concave 곡선 모양을 갖는다. 셋째, 밑 a가 증가할수록 그래프는 원점 쪽으로 더 치우쳐지며, 변화율도 더 커진다. 넷째, 밑 a가 2인 지수함수 y=2^x는 지수 함수 중 가장 기본적이고 많이 쓰이는 형태이다.
지수함수는 다양한 분야에서 널리 활용된다. 대표적으로 자연과학 분야에서 생물체의 성장, 방사성 물질의 붕괴 등의 지수적 변화를 설명하는 데 사용된다. 공학 분야에서는 열전달, 전기회로, 재료의 물성 변화 등과 관련된 문제들을 해결할 때 지수함수 모델이 활용된다. 경제학에서는 이자율, 인구 증가율, 물가 상승률 등의 지수적 변화 현상을 설명하는 데 지수함수가 사용된다. 또한 사회과학 분야에서도 여러 사회 현상의 지수적 변화를 이해하는 데 지수함수가 적용된다.
건축에서도 지수함수는 중요한 역할을 한다. 에펠탑의 곡선은 지수함수 ...
