수학의 분류 중 대수학 (Algebra)의 범위

소개글

수학의 분류 중 대수학 (Algebra)의 범위라는 주제의 리포트입니다.

목차

1. 들어가며
2. 대수적 구조론(Algebraic Structures)
3. 표현론 (Representation Theory)
4. 정수론 (Number Theory)
5. 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra)
6. 응용대수학 (Applied Algebra)

본문내용

1. 들어가며

19세기 이전까지의 대수학의 주된 내용은 정수론과 방정식의 해법이었다. 그러나, 아벨과 갈로아가 5차 이상의 방정식의 대수적 해법이 불가능함을 보이는데 군과 체의 개념을 사용하면서 다양한 대수계가 탄생하였다. 대수계는 몇 가지공리를 만족하는 연산을 갖춘 집합으로서, 군, 환 및 가군, 벡터공간, 체,카테고리 등 많은 대수계의 구조론을 연구하는 것이 대수학이다.

이들 이론은 그자체로서 중요할 뿐만 아니라, 대수적 방법론을 통하여 해석학, 기하학, 위상수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 최근에는 이론물리학, 응용수학에도 이용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.

2. 대수적 구조론(Algebraic Structures)

군이나 환 및 가군의 구조를 연구한다. 군론은 수학의 여러 분야뿐만 아니라 양자역학, 소립자이론 등에도 응용된다. 비가환 환은 수학이나 수리물리에서 흔히 나타나는 예들이 갖는 구조이므로 이에 대한 이론의 전개도 중요하다.

3. 표현론 (Representation Theory)

표현론은 여러 대수적인 구조 (혹은 그위에 기하적, 위상적인 구조가 첨가된 구조) 등을 벡터 공간위의 선형사상으로 나타내 보임으로써 대수적인 구조들을 이해하고자 하는 분야이다. 표현론은정수론, 대수학, 기하학, 위상수학, 이론물리학 등의 도구로 사용되며 동시에이들 분야의 도구들을 사용하고 있다.

표현론에는 군표현론 및 지표이론, 다원환의 표현론, 그리고 리이론이 포함되어 있다. 리이론은 고전군에서 시작하여 리군, 리대수, 대수군, 양자군 등의 구조와 표현론을 연구하는 분야이다. 표현론은 "페르마의 마지막 정리"의 증명에도 중요한 역할을 하였으며, 최근 양자군의 표현론을 이용하여 양자 양-박스터 방정식의 해를구하는 등, 이론물리학에도 응용되고 있다.

참고 자료

없음