Wiener-Khintchin 정리의 증명 - 매틀랩을 이용하여

목차

1. 원리 및 이론
1) Ergodic Random Process
2) 주어진 함수의 Ergodic 여부
3) Wiener-Khintchin Theorem
4) 샘플함수가 하나만 주어졌을 때의 PSD구하는 법
2. MATLAB 시뮬레이션 알고리즘
1) X(t)=Acos(2πfct+Θ) +W(t) 생성
2) x(t)를 에너지 시그날로 변환
3) 공식을 사용하여 Sx(f) 유도
4) Sx(f)를 Inverse FFT
3. 시뮬레이션 결과 PLOT
4. 설계과정에서 발생한 문제 및 해결과정
5. 고찰

본문내용

1. 원리 및 이론

1) Ergodic Random Process
평균은 ensemble-average와 time-average로 나눌 수 있다.
ensemble-average는 랜덤변수를 시행횟수를 무한 번으로 한 후 그 평균을 구한 것으로 랜덤프로세스는 랜덤변수들의 집합이므로 그 랜덤프로세스의ensemble-average를 나타낼 수 있고 그것은 하나의 함수로 표현된다.

그에 반해 time-average는 함수를 시간에 관하여 평균을 구한 것이다.
만약 랜덤프로세스 X(t)가 WSS라면 그것의 ensemble mean이 함수가 아닌 상수로 표현되며 (mx), auto correlation함수는 time에 무관한 오직 랜덤변수의 시간차 τ에만 종속된 함수로 표현된다(Rx(τ)).

랜덤프로세스는 무한히 많은 함수들의 집합이므로 ensemble-average에 의한 mean과 auto correlation함수를 구할 수 있지만 현실적으로는 많은 샘플함수들이 주어지지는 않기 때문에 time-average에 의하여 구하는 경우가 많다.
만약 time-average에 의하여 계산한 mean과 auto correlation이 ensemble-average에 의해 계산한 그것들과 동일하다면 X(t)는 Ergodic Random Process라고 부른다.

2) 주어진 함수의 Ergodic 여부
다음과 같은 랜덤프로세스 X(t)가 있다.
X(t)=Acos(2πfct+Θ)+W(t)
여기서 W(t)는 white noise이다.

3) Wiener-Khintchin Theorem
X(t)의 auto correlation함수가 Rx(형태일 때 그것을 FFT하면 X(t)의 PSD인 Sx(f)가 되며 Sx(f)를 Inverse FFT하면 Rx(
4) 샘플함수가 하나만 주어졌을 때의 PSD구하는 법
P=(ENERGY) 이다.
여기서 에너지는 이므로 결국
P= 가 되므로
Sx(f)= 이다.
그러나 시뮬레이션 상에서 T를 무한대로 보낼수가 없으므로 T를 구간을 옮겨가며 여러 번 시행한 후 그것의 평균을 구함으로서 근사적인 Sx(f)를 얻을 수가 있다.
그것을 공식으로 나타내면
이며 여기서 M은 T의 구간을 옮기는 횟수이다.

참고 자료

없음