[생활과 수학] 수학에서 모순이란?

목차

1. 모순(패러독스)이란?

2. 수학에서의 모순의 예
1) 전체는 부분보다 작지 않다
2) 대수에서의 가짜 증명
3) 존재 증명
4) n = n + 1의 증명

3. 무한에 얽힌 패러독스
1) 선분의 한 끝에서 다른 끝으로 갈 수 없다.
2) 달리기의 명수 아킬레스도 거북이를 따라잡을 수 없다
3) 나는 화살은 날지 않는다, 어떤 시간과 그 반의 시간은 같다
4) 모든 원둘레의 길이는 같다
5) 호텔 패러독스
6) 거짓말쟁이의 패러독스

4. 리포트를 마치며

본문내용

*전체는 부분보다 작지 않다
일대일 대응으로부터 전체가 그 일부분과 똑같다는 모순적인 결과가 나온다. 그리스 시대부터 '전체는 부분보다 크다'라고 생각되어 왔으나 무한개의 집합의 경우 자연수와 짝수와의 예처럼 전체가 그 일부분과 일대일로 대응하고 있는 것 같은 일도 있기 때문에 그리스 이래의 이 명제는 '전체는 부분보다 작지 않다'라 바꿔 적어야 할 것이다. 오히려 전체가 그 일부분과 똑같아지는 것이 무한집합의 특징이기 때문에 이러한 것을 사용하여 무한의 정의로 할 수도 있다. '무한집합이란 그 일부분과 일대일로 대응이 붙는 집합을 말하고 유한집합이란 어떻게 하여도 그 일부분과 일대일로 대응을 붙일 수 없는 집합을 말한다'미다 씨의 수기 속에 삼각형의 밑변 BC와 중점을 연결한 선분 MN과는 일대일로 대응하고 있다라는 이야기가 나와 있었으나 M이나 N은 중점일 필요는 없고 선분 MN이 얼마만큼 짧은 선분이었다 하여도 밑변 BC와 일대일로 대응한다. 거듭 0과 1사이의 임의의 실수 x에 tan(가 되는 실수를 대응시키면 1밀리미터의 선분 속의 점의 개수는 무한으로 긴 직선에 포함되어 있는 점의 개수와 똑같다고 하는 정말 모순적인 결과가 나온다.

참고 자료

1) 재미있는 수학여행 김용운, 김용국 지음 -김영사- p65(무한에 얽힌 파라독스)
2) 우주·역설의 여행 패러독스의 세계 다무라 사부로 지음 p107(학교에서 배우는 패러독스)
3) 수학사랑 홈페이지(www.mathlove.org) - 검색이용 (재미난 수학의 패러독스들)
4) 수학세계 홈페이지(www.mathworld.co.kr) - 검색이용
5) 이미지 - 수학사랑 사이트 및 책 스캔