미분방정식이란?

목차

1. 미분방정식의 정의

2. 함수와 방정식의 차이

3. 미분방정식의 해

4. 미분방정식의 해와 일반 함수의 차이

5. 미분
1) 정의
2) 미분계수
3) 도함수

본문내용

4. 미분방정식의 해와 일반 함수의 차이
그렇다면 미분방정식의 해를 구하면 그 형태가 함수가 되는데 그 함수와, 일반 함수의 차이는 무엇일까?
y'=1 라는 미분방정식이 주어졌을 때, 미분방정식을 풀기 위해 적분하게 되면
y= int _{} ^{} {1`dy} 가 되고 이를 풀어 쓰면 y=`y+C(적분상수)
이와 같이 적분상수라는 미지수가 생기게 된다.
적분상수가 미지수인 이유는 예로 f(y) = y, g(y) = y + 1이 있을 때, 이 둘의 미분 값은 {d(f(y))} over {dy} =1,`` {d(g(y))} over {dy} =1로 두 함수가 서로 같다. 다시 두 함수 f(y), g(y)를 원 함수로 돌리기 위해 적분을 해주었을 때, 미분하여 사라지는 상수 값은 알 수가 없기 때문에 C(적분상수)를 두게 되는 것이고, 적분 값은 f(y) = y + C, g(y) = y + C이 된다. 만약 적분상수를 쓰지 않게 되면 미분하고 적분한 f(y), g(y)는 같은 함수가 되기 때문에 오류가 발생하게 된다.
미지수를 푸는 것이 공학이고, 이 미지수에 경계 조건이 포함되며 이 경계조건 내에 초기조건이 존재한다.

5. 미분
1) 정의 - 미분은 함수의 순간변화율(기울기)을 구하는 것이며, 연속적이고 지속적인 변화 량에 대한 순간변화량을 의미한다.
2) 미분계수
- 함수 y=f(x)에서 x의 값이 a에서 a+ TRIANGLE x까지 변할 때, 이 함수의 평균변화율은
{TRIANGLE y} over {TRIANGLE x} = {f(a+ TRIANGLE x)-f(a)} over {b-a}이다. 여기서 TRIANGLE x` -> `0 일 때 평균변화율의 극한값 lim _{x-> 0} {{TRIANGLE y} over {TRIANGLE x}}= lim _{x-> 0} {{f(a+ TRIANGLE x)-f(a)} over {TRIANGLE x}}이 존재하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 한다. 또한 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 한다.

참고 자료

없음