Gauss-Seidel method, SOR

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방정식(Equation) 으로부터 근을 구할 때 `근의 공식`등이 존재하는 경우 일반해가 있다고 하는데, 이러한 해를 대수적 해라고 한다. 만일 대수적인 해가 존재할 경우 근을 구하는 방식은 매우 쉽다. Iterative Method는 근을 구하는 또 다른 방법이다. 이 방법은 근에 근접하는 값을 만들어내는 알고리즘이 있고 이 알고리즘을 반복하여 근과의 차이 (tolerance 혹은 error)가 얼마 이하가 되면 반복을 멈추어 근을 구하는 방법이다. Iterative Method 중 하나인 Gauss-Seidel Method을 알아보고 Gauss-Seidel Method 이용하여 다음 문제를 풀어보도록 하자.
Solve an arbitrary matrix equation (diagonally dominant and at least 100*100) by using the Gauss-Seidel method
소거법의 대안으로 이용되는 Iterative Method 초기 근을 가정한 후에 더 좋은 근의 값을 추정하는 체계적인 절차를 이용한다. 그 중 Gauss-Seidel Method는 Simple Fixed-point 방법과 매우 유사하다. 다른 점은 방정식이 multicomponent 인 경우, linear system 인 경우인데, 간단히 말하면 연립 일차방정식의 경우에 해를 반복적으로 구하는 방법이다. x의 초기 값들을 가정하고(ex-모두 0) 수렴 상태를 점검한다. Gauss-Seidel Method의 수렴조건은 연립일차 방정식을 matrix로 나타냈을 때 그 matrix가 diagonal dominant이 되어야 한다는 것이다. 새로 계산된 x 값이 바로 다음 방정식의 x 값에 대입된다. 근사 오차가 원하는 값까지 오면 계산을 멈추고 그 값을 해로 이용한다.

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