위상수학의 역사

소개글

위상수학의 역사및 주요문제들

목차

1. 위상 수학이란
2. 위상수학의 탄생(김용운 외, 1999)
3. 위상수학의 전개
4. 위상수학의 종류
5. 위상수학의 주요문제

본문내용

1. 위상 수학이란(노영순, 2003; 리차드 쿠랑, 2002; Web Site)

Topology(위상기하학)는 그리스어의 Topos(위치)와 logos(학문)를 결합시킨 것으로 topology라는 용어는 J.B Listing(1808-1882)이 1847년에 출간한 토폴로지의 기초연구라는 저서에서 처음으로 사용하였으며 이후 이 용어가 수학에 도입되게 되었다. 이때는 위상을 기하학적 입장에서 다루었고 19세기 말과 20세기 초에는 해석적 측면에서 다루었다. 위상기하학을 위치와 형상에 관한 기하학이라고 풀이할 수 있는데 그 중 오일러의 정리는 형상에 관한 것이며 곡선의 위치관계와 곡면의 구조 등을 다룬 가우스 연구결과는 위치에 관한 것이라 할 수 있다. 오늘날 위상기하학은 기하학뿐 아니라, 대수학, 해석학 등과도 깊은 연관이 있어 이들 분야의 심오한 연구에 위상기하학은 아주 필수적이다. 이런 이유에서 위상기하학을 위상수학이라고 고쳐 사용한다.
위상수학은 길이나 크기의 개념이 아닌 형상의 성분들의 상호 위치에 의해서 기하적 성질을 다룬다. 즉, 위상적 변형의 세 가지 특성인 구부리거나 잡아당기고 비트는 조작을 하여도 없어지지 않는 사물의 특성과 관련한 기하학이다. 흔히 위상수학자들은 커피 잔과 도넛을 구분할 수 없다고 하는데, 이것은 커피 잔이 만약 수학적인 고무로 만들어져 있다면 도넛모양으로 연속적으로 변형시킬 수 있기 때문이다.

한편, 공과 커피 잔은 위상적으로 다르다. 이와 같이 위상수학에서는 공간의 추상적 연결 구조를 정의하고 계량화하며 성질을 연구한다.

2. 위상수학의 탄생(김용운 외, 1999)

군론(群論)의 방법을 기하학에 적용시켜 획기적인 업적을 남긴 사람은 클라인(F. Klein, 1849-1925)이었다. 그는 23세 때에 행한 에를랑겐 대학 취임강연의 내용인 유명한 「에를랑겐 목록」은 당시 수학, 특히 기하학을 정비하는데 있어서 극히 중요한 구실을 하였다.
클라인이 「에를랑겐 목록」을 발표하기 이전의 기하학을 살펴보면, 퐁슬레와 폰 슈타우트(Von Staudt, 1798-1867) 등에 의하여 사영기하학(射影幾何學)이 이미 개발되었고, 리만에 의하여 위상기하학(位相幾何學)의 출발 신호가 울리고 있었다. 그러나 여러 가지 기하학 사이의 관계라든지, 그러한 기하학이 수학에 있어서 어떤 위치를 차지하는지 등에 대해서는 아직 검토되지 않았던 무렵이기도 하였다. 이러한 상황에서 나타난 「에를랑겐 목록」은 기하학 전체를 명확하게 분류하고, 나아가서는 새로운 기하학이 탄생할 길을 트게 하였다는 점에서 수학사상 그 의의가 크다.

참고 자료

없음